Create your own awesome maps

Even on the go

with our free apps for iPhone, iPad and Android

Get Started

Already have an account?
Log In

Система счисления by Mind Map: Система счисления
5.0 stars - 1 reviews range from 0 to 5

Система счисления

Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления

Определение b-ричная система счисления определяется натуральным числом b > 1, называемым основанием системы счисления. x в b-ричной системе счисления его представляют в виде линейной комбинациистепеней числа b: , где ak — целые, .

Пример

Например, число "сто три" представляется в десятичной системе счисления в виде: Используя позиционный принцип, мы имеем возможность изобразить любое действительное число с помощью всего лишь десяти цифр в их различных комбинациях. Также распространены системы счисления с основаниями: 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании) 8 — восьмеричная (в программировании) 12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас) 16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах) 60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты)  

Запись

Для записи чисел системы счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и затем буквы латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10. При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе: 12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;11110112 — то же число, но в двоичной системе. В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания. Например, в программировании шестнадцатеричная сиситема обозначается: в ассемблере и записях общего рода, не привязанных к конкретному языку, буквой h (от hexadecimal) в конце числа (синтаксис Intel); в Паскале знаком «$» в начале числа; в C и многих других языках комбинацией 0x или 0X (от hexadecimal) в начале. В некоторых диалектах языка Си по аналогии с «0x» используется префикс «0b» для обозначения двоичных чисел. (Обозначение «0b» не входит в стандарт ANSI C.)

Свойства

Позиционная система счисления обладает рядом важных свойств: Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется [logb(x)] + 1 цифр, где  — целая часть числа. Сравнение чисел. Сравним числа 321 и 312. Для этого слева направо сравниваем цифры, стоящие на одних и тех же позициях: 3 = 3 — результат сравнения чисел не определён; 2 > 1 — первое число больше независимо от оставшихся цифр. Сложение чисел. Сложим 321 и 312. Для этого справа налево складываем отдельные цифры:1 + 2 = 32 + 1 = 33 + 3 = 6, итого 633.Таким же образом можно сложить числа произвольной длины.  

Переход к другому основанию

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную

Перевод из десятичной в произвольную систему счисления

Перевод из двоичной в восьмиричную и шестнадцатиричную системы

Перевод из восьмиричной и шестнадцатиричной в двоичную

Дробное счисление в других системах счисления

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную

Перевод из двоичной системы в восьми- и шеснадцатиричную системы

Перевод из десятичной системы в произвольную

Симметричные позиционные системы счисления

Такие системы счисления отличаются от обычных тем, что используют цифры не из множества , а из множества . Чтобы цифры были целыми, нужно, чтобы b было нечётным. В симметричных системах счисления не требуется дополнительных обозначений для знака числа. Кроме того, вычисления в симметричных системах удобны тем, что не требуется особых правил округления — оно сводится к простому отбрасыванию лишних разрядов, что резко уменьшает систематические ошибки вычислений. Чаще всего используется симметричная троичная система счисления с цифрами (-1,0,1). Она применяется в троичной логике и была технически реализована в вычислительной машине «Сетунь».

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением b-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел  и каждое число x представляется как линейная комбинация: , где на коэффициенты ak (называемые как и прежде цифрами) накладываются некоторые ограничения. Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого. Если bk = bk для некоторого b, то смешанная система счисления совпадает с b-ричной системой счисления. Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секундсоответствует значению  секунд.

Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. , где Fk — числа Фибоначчи, , при этом в записи  не встречается две единицы подряд.

Факториальная система счисления

Представление , где .

Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты , где .

Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчетов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Римская система счисления

Каноническим примером фактически непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы: I обозначает 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000 Например, II = 1 + 1 = 2 здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе. На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например: IV = 4, в то время как: VI = 6

Система остаточных классов ( СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно-простых модулей с произведением  так, что каждому целому числу x из отрезка [0,M − 1] ставится в соответствие набор вычетов , где … При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0,M − 1]. В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M − 1]. Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .

Перевод чисел из СОК в десятичную систему счисления