DISTRIBUCIONES

1. Distribución Poisson

1.1. Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña . • El número promedio de eventos en el espacio temporal o región específica de interés se representa con la letra griega Lambda λ • El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región

2. Su función de masa de probabilidad está dada por esta ecuación: p(x)= e^(-λ) λ^x/x! * P(X|λ)= la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es λ * λ media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto * e es la constante 2,7183 * X es un valor específico que la variable pueda tomar * La media de esta distribución es = λ * La varianza de esta distribución es = λ

3. EJEMPLO Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, X es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es p(5;8)= eˆ-8 x 8ˆ5/5! = 0,091 Es decir, la probabilidad es de 9,1%

4. Distribución normal

4.1. La distribución normal (en ocasiones llamada distribución gaussiana) es la distribución continua que se utiliza más comúnmente en estadística. La distribución normal es de vital importancia en estadística por tres razones principales: -Muchas variables continuas comunes en el mundo de los negocios tienen distribuciones que se asemejan estrechamente a la distribución normal. -La distribución normal sirve para acercarse a diversas distribuciones de probabilidad discreta, como la distribución binomial y la distribución de Poisson. -La distribución normal proporciona la base para la estadística inferencial clásica por su relación con el teorema de límite central.

5. En la distribución normal, uno puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos. Sin embargo, la probabilidad exacta de un valor particular dentro de una distribución continua, como la distribución normal, es cero. Esta propiedad distingue alas variables continuas, que son medidas, de las variables discretas, las cuales son contadas. Como ejemplo, el tiempo (en segundos) se mide y no se cuenta. Por lo tanto, es factible determinar la probabilidad de que el tiempo de descarga para una página principal en un navegador de la Web esté entre 7 y 10 segundos o que la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 8 y 9 segundos, o la probabilidad de que el tiempo de descarga esté entre 7.99 y 8.01 segundos. Sin embargo, la probabilidad de que el tiempo de descarga sea exactamente de 8 segundos es cero.

6. Una distribución normal de media µ y desviación típica σ se designa por N (µ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss. La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, µ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1. La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la curva, y para calcularla utilizaremos una tabla. Tipificación de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(µ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1). Z= X-µ/σ

7. Distribución binomial

7.1. La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que indica el número de éxitos al realizar una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija (p) de ocurrencia del éxito entre esos ensayos. Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.

8. La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli , se expresa con la fórmula: P(x)= n!/x!(n-x)! p^x 〖(1-p)〗^(n-x) Donde: n es el número de pruebas o ensayos. x es el número esperado de éxitos. p es la probabilidad porcentual de éxito.

9. La distribución binomial se utiliza para describir un proceso donde los resultados se pueden etiquetar como un evento o un no evento y cuando esté interesado en la ocurrencia de un evento y no en su magnitud. Por ejemplo, un elemento pasa o no pasa una inspección, o un partido político gana o pierde. La distribución binomial se usa frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros.

10. EJEMPLO Supongamos que se tiran 3 dados. Calcular la probabilidad de que salga el valor 6 en los tres. El fenómeno aleatorio sigue la distribución binomial ya que solo puede ser éxito (salir 3) o fracaso (no salir 3) La probabilidad de éxito (p) = 1/6 P(X=3) = [3! / (3!·0!)] · (1/6)ˆ3 · (5/6)ˆ0 = (1/6)ˆ3 = 0,0046 La probabilidad sería por lo tanto un 0,46%

11. EJEMPLO La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente con media 18,7ºC y desviación standard 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21ºC. Resolución. µ = 18,7ºC σ = 5ºC X = 21ºC Z= X-µ/σ = 21 - 18,7 / 5 = 0,46 Ahora vamos a la tabla y para el valor de Z = 0,46 tenemos que la probabilidad es de 0,6772. ¿Pero qué probabilidad es que hemos averiguado de la tabla? Justamente, esta tabla nos proporciona la probabilidad de que ocurran sucesos menores que Z=0,46. Esto es, la probabilidad de que ocurran sucesos desde menos infinito hasta el valor de Z de 0,46 es 0,6772. Esto es un 67,72%