Probabilidad y Estadística Tema 4

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Probabilidad y Estadística Tema 4 by Mind Map: Probabilidad y Estadística Tema 4

1. Variables aleatorias conjuntas

1.1. Características de interés

1.1.1. Fenómenos

1.1.1.1. F (x,y)

1.1.1.1.1. Distribución de probabilidad

1.1.1.1.2. Variable aleatoria bidimensional

1.2. Continuas

1.2.1. Distribución

1.2.1.1. Uniforme

1.2.1.2. Exponencial

1.2.1.3. Normal

1.3. Discretas

1.3.1. Distribución

1.3.1.1. Bernoulli

1.3.1.2. Binomial

1.3.1.3. Geométrica

1.3.1.4. Poisson

2. Variables aleatorias conjuntas discretas

2.1. P(x,y)

2.1.1. Función de probabilidad conjunta

3. Valor esperado

3.1. Comportamiento

3.1.1. Probabilidad conjunta

3.2. Condicional

3.2.1. En función de mas variables

3.2.2. Curva de regresión

3.2.2.1. Pronósticos

3.2.2.1.1. Valor esperado

3.2.2.2. De Y dado X

3.2.2.2.1. Lugar geométrico

3.2.2.3. De X dado Y

3.2.2.3.1. Lugar geométrico

4. Función de probabilidades marginales

4.1. Función conjunta

4.1.1. Probabilidad total de las funciones

4.1.1.1. Variable

4.1.1.1.1. Variable aleatoria conjunta bidimensional

5. Probabilidad condicional

5.1. Eventos X y Y

5.1.1. P(X/Y)

5.1.1.1. Probabilidad de X dado Y

5.2. Variables aleatorias discretas

5.2.1. X,Y o A,B

5.2.1.1. Función de probabilidad condicional

6. Función de densidad de probabilidad conjunta

6.1. Función de masa

6.1.1. Marginales

6.1.1.1. Caso continuo

6.1.1.1.1. f_XY(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

6.1.1.2. Caso discreto

6.1.1.2.1. P_XY(x,y)=P_Y(y)P_X(x)

6.2. 2 variables aleatorias son independientes

6.2.1. Cuando

6.2.1.1. La probabilidad de que una de ellas tome cierto valor

6.2.1.2. O se encuentre en un intervalo dado (en el caso continuo) es independiente del valor que tome la otra variable aleatoria

6.3. Las funciones masa o densidad de probabilidad condicionales son iguales a las marginales

7. Covarianza

7.1. Relación lineal

7.1.1. Variar X y Y

7.2. Valor nulo

7.2.1. Variable aleatorias independientes

7.3. Valor negativo

7.3.1. Inversamente proporcional

7.4. Valor positivo

7.4.1. Directamente proporcional

8. Coeficiente de correlación

8.1. Normalización de la covarianza

8.1.1. Asociación lineal de variables X, Y

9. Elaborado por: Aguilar Bartolo Fernando Hernández García Alejandro Manuel Monroy Barragán Bryan Alexis

9.1. UNAM

10. Independencia Estadística

10.1. X y Y

10.1.1. Variables aleatorias

10.1.1.1. Distribución

10.1.1.1.1. Probabilidad conjunta FXY(x/y)

10.1.1.1.2. Marginal g(x) y h(y)

10.1.2. Variables continuas

10.1.2.1. Distribución

10.1.2.1.1. Probabilidad conjunta FXY(x/y)

10.1.2.1.2. Marginal g(x) y h(y)

10.1.3. Las variables son independientes estadística mente si cumple

10.1.3.1. f(X,Y)=g(X)h(y)

11. Funciones de Densidad Marginal

11.1. Para las continuas también se definen las funciones de densidad marginal y condicional.

11.1.1. X y Y son dos variables aleatorias conjuntas continuas

11.1.1.1. La función de densidad marginal de ( función de probabilidad de X al margen de Y ) como:

11.1.1.1.1. f_X(x)= (Integral de –infinito a infinito)f_XY(x,y)dy

11.1.1.2. La función de densidad marginal de ( función de probabilidad de Y al margen de X ) como:

11.1.1.2.1. f_Y(y)= (Integral de –infinito a infinito)f_XY(x,y)dx

12. Funciones de Densidad Condicional

12.1. Para las continuas también se definen las funciones de densidad marginal y condicional.

12.1.1. X y Y son dos variables aleatorias conjuntas continuas

12.1.1.1. La función de densidad condicional de X dado que Y=y_0

12.1.1.2. La función de densidad marginal de ( función de probabilidad de Y al margen de X )

13. Independencia de Variables Aleatorias Conjuntas

13.1. X y Y son variables aleatorias conjuntas, se dice que son independientes si y sólo si:

13.1.1. f_XY(x,y) = fX(x)f_Y(y)

14. Función de Distribución Conjunta

14.1. X y Y son dos variables aleatorias conjuntas

14.2. X y Y son dos variables aleatorias conjuntas discretas o continuas

15. Valor esperado

15.1. X y Y, son variables aleatorias conjuntas con función de probabilidad o de densidad conjunta

15.1.1. f_XY(x,y) y si g(x,y)

15.2. Propiedades

15.2.1. E(c) = C

15.2.2. E(X+Y) = E(X) + E(Y)

15.2.3. X y Y son variables aleatorias independientes

15.2.3.1. E(g_1(X)g_2(Y)) = E ((g_1(x) E(g_2(x))

16. Valor esperado condicional

16.1. Frecuentemente se presentan variables aleatorias que están en función de otras dos o más variables.

16.2. Ejemplo:

16.2.1. El diseño de una subestación eléctrica para una planta industrial, la capacidad puede determinarse por la suma de las demandas de cada departamento.

16.3. La curva de regresión de Y dado x, es el lugar geométrico de los valores esperados de las distribuciones condicionales de Y. Su ecuación es:

16.3.1. ^y = M_y|x

16.4. La curva de regresión de X dado y, es el lugar geométrico de los valores esperados de las distribuciones condicionales de X. Su ecuación es:

16.4.1. ^x = M_x|y

16.5. El concepto de curva de regresión tiene su principal utilidad en los pronósticos, puesto que para cada x proporciona el valor esperado (o pronóstico) de Y, o viceversa.

17. Covarianza

17.1. Es una medida de la manera en que X y Y tienden a variar juntas

17.2. Propiedad

17.2.1. Valores negativos

17.2.1.1. Cuando la relación entre las variables es inversamente proporcional

17.2.2. Valores positivos

17.2.2.1. Cuando es directamente proporcional

18. Coeficiente de Correlación

18.1. |p| = 1

18.1.1. Correlación perfecta entre X y Y

18.1.1.1. Se puede expresar una de ellas como una función lineal de la otra

18.2. |p| = 0

18.2.1. Se puede afirmar que las variables son linealmente independientes

18.2.2. En la mayoría de los casos tomara un valor intermedio que solamente nos puede servir de indicador

18.3. Toma valores entre -1 y 1

18.3.1. El coeficiente de correlación es sólo una medida estandarizada de la asociación lineal que existe entre las variables aleatorias X y Y en relación con sus dispersiones.

18.4. p = 0

18.4.1. Ausencia de cualquier asociación lineal

18.5. p = -1 y p = 1

18.5.1. Relaciones lineales perfectas, negativa y positivamente.

19. Distribución Normal Bivariada

19.1. Si p = 0, la densidad conjunta puede factorizarse en el producto de las densidades marginales y, por ello, x_1 y x_2 son independientes.