AL - Escalonamento

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AL - Escalonamento by Mind Map: AL - Escalonamento

1. Método de Gauss-Jordan

1.1. Conceito

1.1.1. Objetiva transformar a matriz aumentada na forma escada, por meio de operações sobre as linhas (que não necessariamente será uma matriz identidade)

1.1.1.1. Não é igual ao método de Gauss pois nem sempre teremos uma matriz quadrada (pois só esta pode ser triangular superior, por possuir uma diagonal)

1.2. Como fazer

1.2.1. Proceder como no método de Gauss, com a diferença de que o processo termina quando alcançar a forma escada por linhas, obedecendo estas propriedades

1.2.1.1. Propriedades

1.2.1.1.1. Linhas nulas no "rodapé" da matriz

1.2.1.1.2. 1º elemento de cada linha = 1

1.2.1.1.3. Linhas posteriores têm elemento não nulo à direita do elemento não nulo da linha anterior (forma de escada)

1.2.1.1.4. Se uma coluna contém o 1º elemento não nulo de alguma linha, então todos os outros elementos desta coluna são iguais a zero

1.2.1.1.5. Ou seja, começa com 1 e tem uma escada de zeros embaixo

1.3. Exemplos

1.3.1. Matriz + termos independentes

1.3.2. Matriz 2

1.3.3. Matriz 3

2. Conceitos iniciais

2.1. Matriz aumentada

2.1.1. Transcrição dos coeficientes e sinais de um sistema linear para o formato de matriz

2.2. Forma escada

2.2.1. É a forma assumida pela matriz após o processo de escalonamento

2.3. Redução por linhas

2.3.1. As operações do processo de escalonamento são feitas por linhas sobre as linhas, também chamadas de operações elementares

2.4. Matriz dos coeficientes

2.4.1. É a matriz onde estão as variáveis

2.5. Termos independentes

2.5.1. É a matriz onde estão os valores

2.6. Triangular superior

2.6.1. É a matriz cujos elementos abaixo da diagonal principal são nulos

2.7. Retro substituição

2.7.1. Substituição, do valor da última variável, nas equações superiores, na ordem de baixo para cima, a fim de achar o valor de cada variável

2.8. Pivotamento

2.8.1. Técnica que previne que o método de Gauss falhe ao zerar um pivô de um sistema que tem solução. Consiste na troca das linhas, fazendo o maior elemento da coluna "subir", como pivô

3. Método de Gauss

3.1. Conceito

3.1.1. Objetiva transformar a matriz aumentada em uma matriz triangular superior

3.2. Como fazer

3.2.1. Representar o sistema na forma de matriz aumentada

3.2.2. Executar operações elementares sobre as LINHAS, até zerar os elementos abaixo dos PIVÔS

3.2.2.1. FOQUE APENAS em zerar as variáveis sob os pivôs

3.2.3. Quando achar a triangular superior, executar a retro substituição para achar a solução do sistema

3.3. Exemplo

3.3.1. Sistema não escalonado

3.3.1.1.   

3.3.2. Matriz aumentada

3.3.2.1.   

3.3.3. Matriz escalonada

3.3.3.1.   

3.3.4. Sistema escalonado

3.3.4.1.   

4. Conceitos

4.1. Como montar a matriz aumentada

4.1.1. coeficientes e sinais das variáveis e resultados

4.1.2. a estrutura de uma "foto" do item acima

4.1.3. posições vazias preenchidas com zeros

4.2. Operações elementares

4.2.1. Soma | subtração

4.2.2. Produto | divisão

4.2.3. Opcionais

4.2.3.1. Combinar operações

4.2.3.2. Troca de linhas

4.3. Após o escalonamento, é bom verificar a solução

4.3.1. Substitua os valores em todas as equações do sistema

4.3.2. No caso de uma Combinação Linear, substitua os valores na equação da CL

5. Outros

5.1. Aplicações

5.1.1. Resolução de sistemas lineares

5.1.2. Obtenção da matriz inversa (Gauss-Jordan)

5.1.2.1. Exemplo

5.1.2.2. Forme a matriz aumentada

5.1.2.3. Escalone por Gauss-Jordan

5.1.2.4. Deixe a matriz assim

5.1.2.5. Resposta

5.2. Soluções possíveis

5.2.1. Sem solução

5.2.1.1. Uma linha da matriz com as variáveis = 0, mas resultado ≠ 0

5.2.2. Única solução

5.2.3. Infinitas soluções

5.2.3.1. Uma linha da matriz = 0, incluindo o resultado

5.3. Mapas legados

5.3.1. AL - Escalonamento (Gauss)

5.3.2. AL - Forma escada reduzida por linhas