1. Se puede definir como la relación de identidad entre dos cantidades
1.1. se dividen en:
1.1.1. Expresiones
1.1.2. Variables
1.1.3. Coeficientes
2. Problemas al resolver ecuaciones
2.1. Probar soluciones
2.1.1. Dar puntos que cumplan con las condiciones
2.1.2. Reemplazar valores en las variables
2.2. Encontrar soluciones
2.2.1. Despejar
2.2.2. Dar valores
2.3. Existencia de soluciones
2.3.1. Si es consistente
2.3.2. Si es inconsistente
2.4. Número de soluciones
2.4.1. Puden ser 1, varios o ninguno
3. Consistente
3.1. si la cardinalidad es mayor o igual a 1
3.1.1. Determinado
3.1.1.1. si tiene solo una solución
3.1.2. Indeterminado
3.1.2.1. si tiene varias soluciones
3.2. si dos o más rectas pasan por el mismo punto
3.3. el vector ¨0¨ siempre sera consistente
3.3.1. ¨0¨=c1a1+.......+cnan es una ecuacion vectorial homogenea.
4. Inconsisente
4.1. si no tiene soluciones
4.2. cuando dos rectas son paralelas
4.3. cuando tres rectas no comparten el mismo punto de cruce
5. Métodos geométricos
5.1. Gráficar las ecuaciones
5.2. Identificar las intersecciones
5.3. Clasificarlas como consistentes o inconsistentes
6. Matrices
6.1. compuesta de
6.1.1. pivotes
6.1.1.1. elemento de la matriz que debe ser igual a 1
6.1.2. Escalones
6.1.2.1. cuando debajo de cada pivote haya un 0
6.1.2.2. no es escalonada cuando en el extremo hay un numero diferente de 1
6.2. Operaciones elementales de fila
6.2.1. Remplazo
6.2.1.1. Sustituir una fila por la suma de si misma y un múltiplo de la otra fila.
6.2.2. Intercambio
6.2.2.1. Intercambiar dos filas.
6.2.3. Escalamiento
6.2.3.1. multiplicar todos los elementos de una fila por una constante diferente de 0.
6.3. Conjunto ordenado de números con dimensiones horizontales y verticales
6.3.1. Notación matricial
6.3.1.1. Tamaño de una matriz
6.3.1.1.1. n= numero de columnas y m= numero de filas
6.3.1.2. Estructuras matriciales
6.3.1.2.1. separa los coeficientes de las variables en las ecuaciones con los coeficientes independientes.
6.3.1.3. Matriz aumentada
6.3.1.3.1. se agregan todos los coeficientes de las ecuaciones de forma ordenada.
6.4. definiciones
6.4.1. al comprar dos matrices decimos que son iguales si el orden y numero de los elementos es el mismo
6.4.2. Variable básica
6.4.2.1. aquella que tiene pivotes
6.4.3. Variable libre
6.4.3.1. aquella que no tenga pivotes
6.4.4. Matriz escalonada
6.4.4.1. cunado los pivotes estan en forma de escalon y avanzan hacia abajo y a la derecha
6.4.5. Matriz reducida
6.4.5.1. cuando arriba de un pivote todo es 0.
6.5. Matriz inversa
6.5.1. Una matriz A es invertible si y solo si existe la inversa que pertenece a R¨n*n¨
6.5.1.1. tal que
6.5.1.1.1. al multiplicar la inversa por la matiz me de la indentidad
6.5.1.1.2. al multiplicar la matriz por la inversa me de la identidad
6.5.2. Problemas
6.5.2.1. Dado A eR¨n*n¨
6.5.2.1.1. P.AL.1 Existe la inversa de A tal que la inversa por A= a la identidad ¨n*n¨ o al multiplicar A por la inversa me de la identidad¨n*n¨?
6.5.2.1.2. P.AL.2 Encontrar la inversa de A eR¨n*n¨
7. Ecuación matricial
7.1. es la combinación lineal de las columnas de A utilizando como pesos las entradas correspondientes en x
7.1.1. Si A es una matriz de m*n, con columnas a1,…, an, y si b está en Rm, la ecuación matricial tiene el mismo conjunto solución que la ecuación vectorial
8. Espacio Generado
8.1. el conjunto de todos los vectores y que seam C.L. de los vectores de ¨a¨ se llaman espaios generados por ¨a¨
8.2. se puede denotar como
8.2.1. Gen o utilizando los signos (<>)
8.2.1.1. el Gen es el conjunto de todas las C.L.
9. independencia lineal
9.1. es linealmente independiente si la ec vectorial es determinada
9.2. es linealmente dependiente cuando la ec vectorial es indeterminada
9.3. Problemas comunes
9.3.1. dado los vectores ¨a¨ cR el conjunto es linealmente independiente
9.3.1.1. Si, (ec. vectorial) es determinada o por el teorema 7 ninguno es C.L.
9.3.1.2. No, (ec. vectorial) es indeterminada y por el teorema 7 encontre un vector
9.3.2. dados los vectores ¨ä¨ encontrar el sub conjunto mas grande que sea linealmente independente
9.3.2.1. encontrar todos los vectores de C.L
9.3.2.2. Teorema 7. Quitar esos vectores
10. Espacio lineal
10.1. solo si el 0 vector pertenece a Rm, el vector ¨v¨y¨w¨ pertenecen al espacio lineal entonces la suma de estos dos vectores deben pertenecer al espacio ineeal, un escalar multiplicado por vector pertenecen a un espacio lineal
10.2. Conjunto generado finito
10.2.1. sean los vectores ¨a¨ y sea H subconjunto de Rm esp. lineal
10.2.1.1. los vectores ¨a¨ es un conjunto generado finito H si y solo si el Gen de los vectores ¨a¨ es igual a H.
10.3. Problema
10.3.1. Encontrar un conjunto gen finito
10.3.1.1. METODO cuando m=2:
10.3.1.1.1. Si H es una recta, un solo vector es un puntocualquiera
10.3.1.1.2. Si H es R2 hay dos puntos cualquiera que son linealmente independientes
10.4. Dimensiones
10.4.1. cantidad maxima de vectores Lin. Ind qquue genera un espacio lineal
10.5. Bases
10.5.1. cantidad minima de vectores que generan un subespacio
10.5.1.1. tienen que cumplir 3 condiciones sabiendo que H es el subespacio generado
10.5.1.1.1. ¨v¨ y ¨u¨ pertenecen a H al igual que ¨v¨+¨u¨
10.5.1.1.2. Si ¨v¨pertenece a H, c¨v¨pertenece a H
10.5.1.1.3. Si el ¨0¨ pertenece a H
10.5.2. Problema
10.5.2.1. dado H subconjunto de Rm esp. lineal encontrrar su base
10.5.2.1.1. METODO
11. Ortogonalidad
11.1. es ortogonal cuando ¨x¨.¨y¨=0
11.2. Def. Producto inferior o punto
11.2.1. <¨x¨,¨y¨>= ¨x¨.¨y¨ eR
11.2.2. El resultado de esta multiplicacion es un numero
11.3. Def. Norma
11.3.1. IIxII= RAIZ DE ¨x¨.¨x¨ mayor o igual a 0
11.4. Def. Distancia
11.4.1. d(¨x¨,¨y¨)=II¨x¨-¨y¨II
11.4.2. propiedades, x,y,z son vectores
11.4.2.1. d(x,y)=0 si y solo si x=y
11.4.2.2. d(x,y)= d(y,x)
11.4.2.3. d(x,z)= d(x,y) + d(y,z)
11.5. Def. Normalidad
11.5.1. ¨x¨ es normal unitario cuando
11.5.1.1. II¨X¨II=1
11.5.1.2. ¨x¨.¨x¨=1
11.6. Def. Conj. Ortogonal
11.6.1. sean varios vectores de Rm
11.6.1.1. si el producto punto de cada pareja es 0 entonces son ortogoganes, ¨todos contra todos¨.
12. Proyecciones
12.1. teorema
12.1.1. cos θ=Iy.xL/IIxII.IIIyII
12.2. La proyeccion del vector debe ser del mismo tamaño que el vector
12.3. Sea L una linea y el vector y
12.3.1. el vector proveccion de y sobre L es equivalente a la proyeccion de y sobre x donde x es la base de L
12.4. Tomamos vectores base ortogonales para la suma de proyecciones
12.5. Minimos cuadrados
12.5.1. Sea H un espacio generado subconjunto de Rm
12.5.1.1. Proyeccion de y sobre H= a las combinaciones lineales de los vectores
12.5.2. debe cumplir
12.5.2.1. At .y= At.A.c
12.5.2.1.1. At es la matriz A transpuesta
12.5.2.2. B= At.A
12.5.2.3. b=At.y
12.5.2.4. Bc=b
12.5.2.5. B invertible debe ser consistente determinada
13. Diagonalizacion
13.1. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si A es similar a una matriz diagonal, es decir, si A = PDP-1
13.2. Una matriz A de n *n es diagonalizable, si y solo si A tiene n vectores propios linealmente independientes.
13.3. Metodo
13.3.1. Hallar valores propios de A
13.3.2. Encontrar 3 vectores propios de A que sean linealmente independientes
13.3.3. Construir P con los vectores independietes
13.3.4. Construir D con los valores propios
14. Conjunto solucion de sistemas lineales
14.1. Homogeneo
14.1.1. si se puede escribir de la forma Ax=0
14.1.1.1. x≠0
14.1.2. Siempre consistente
14.1.2.1. determinado
14.1.2.2. indeterminado
14.2. No homogeneos
14.2.1. cuando tienen muchas soluciones
15. Pasos para encontrar soluciones
15.1. 1.- Identificar números que pertenezcan al conjunto o ecuación
15.2. Determinar las condiciones de la ecuación
15.3. 2.- Despejar una varible
15.4. Algunas variables son parámetros
15.5. 3.-Dar valores
15.6. 4.-Concluir si el valor del resultado es falso o verdadero
15.7. 5.- Igualar la ecuación orignal con la despejada
15.8. 6.- Ver si son iguales o equivalentes
15.9. Es equivalente cuando comparten todas las soluciones
15.10. 7.-Responder si las soluciones fueron resultado de un ensayo o despeje
16. Métodos algebráicos
16.1. Reducción
16.2. Igualación
16.3. Sustitución
16.4. Gauss
16.5. Matriz Inversa
16.6. Regla de Cramer
17. Teorémas
17.1. 2.- Un sistema lineal es
17.1.1. 2.A.- Inconsistente
17.1.1.1. si y solo si existe una fila ¨extraña¨ en una matriz aumentada [0 0 0 I b] b≠0
17.1.2. 2.2.A.- Consistente
17.1.2.1. si y solo si no existe ninguna fila ¨extraña¨
17.1.3. 2.3.B.-consistente determinado
17.1.3.1. si el numero de pivotes en la matriz aumentada es equivalente escalonada
17.1.4. 2.4.B.- Consistente indeterminado
17.1.4.1. si los pivotes son menores a las variables p<n
17.2. 3.- El conjunto solucion de las ecuaciones vectoriales es el mismo de las de un sistema lineal y de las ecuaciones matriciales
17.3. 4.Las columnas de A generan R¨m¨
17.3.1. para todo ¨y¨ ϵR¨m¨, la ec. vect es constistente
17.3.2. para todo ¨y¨ ϵR¨m¨, la ec. matricial es consistente
17.3.3. todas las filas de ¨A escalonada¨ tienen pivote.
17.3.4. Metodo
17.3.4.1. analizar A en forma escalar; A ϵR¨m*m¨ cuadrada
17.3.4.2. todas las filas tienen pivore si las columnas generan R¨m¨
17.3.4.3. al menos una fila no tiene pivote entonces las columnas no generan R¨m¨
17.4. 5.- Sea Ax=b, x el vector incog.
17.4.1. se justifica con el teorema 2
17.4.2. Ax=b Determinado entonces A es invertible
17.5. 7.- Si los vectores de ¨a¨ son consistentes o linealmente dependiente entonces existe al menos un vector de ¨a¨ que es combinacion lineal de los otros.
17.5.1. 7.a.- A es invetible entonces A equivale por filas I eR¨nxn¨
17.5.1.1. La forma escalonada reducida de A es I eR¨nxn¨.
17.5.2. 7.b.- Si A es invertible entonces las mismas op. elementales que transforman A en I transforman I en la inversa.
17.5.3. METODO
17.5.3.1. 1. Transformar A a su forma escalonada reducida
17.5.3.2. 2.1. TEO 2/ si es identidad entonces si si existe
17.5.3.3. 2.2. TEO 2/ no es identidad entonces no, no existe
17.6. 8.- Si n>m los vectores ¨a¨ son consitentes por lo que son linealmente dependientes
17.7. Todo vector ¨0¨ es linealmente independiente
17.8. Si existe una variable libre en la ecuación de la I.L crean (ec. vect homogenea) y hace que sea Lin. Dep.
17.9. Si la f es una funcion matricial el rango es igual al espacio generado
17.10. 10.A.- Si f es lineal existe una unica matriz A tal que f(x)=Ax; x siendo un vector
17.11. 10.B.- Si f es lineal entonces an=f(ei)
17.12. Toda funcion lineal es inyectiva
17.13. 12.A.- f es suryectiva y genera Rm
17.14. 12.B.- f es biyectiva si n=m y las columnas de A son linealmente independientes
17.15. Rm es espacio lineal
17.16. Si el espacio generado es todo Rm entonces el Gen es un espacio lineal
17.17. Si el gen es subconjunto de Rm siempre es espacio lineal
17.18. Sea ¨x¨ eRm, ¨x¨ debe ser distinto a 0
17.18.1. A) Existe un unico ¨x¨ eRm tq
17.18.1.1. II¨x¨II=1
17.18.1.2. ¨x¨=c¨x¨
17.18.2. B) C= 1/II¨x¨II
18. Matriz vector
18.1. Una matriz con una sola columna es un vector columna.
18.2. Operaciones
18.2.1. Igualdad
18.2.1.1. son iguales cuando
18.2.1.1.1. tienen el mismo tamaño (mismo numero de columnas y filas).
18.2.1.1.2. tienen mismos elementos
18.2.2. Suma o resta
18.2.2.1. se suma o se resta cuando
18.2.2.1.1. tienen el mismo tamaño
18.2.2.1.2. los elementos son correspondientes
18.2.2.1.3. A+ (vector x)= no existe
18.2.3. Multiplicacion escalar
18.2.3.1. NO es conmutativa
18.2.3.2. c = a un numero
18.2.3.3. A = a una matriz
18.2.3.3.1. cA ≠ Ac
18.2.3.4. se multiplica c para cada elemento de la matriz.
18.2.4. Forma parametrica
18.2.4.1. conjunto solucion ordenado por el valor de las variables
18.2.5. Multiplicación matriz-matriz
18.2.5.1. no es conmutativa
18.2.5.2. A ∈R(m*n); B ∈R (n*p); AB ∈R(m*p)
18.2.5.3. no existe cuando el numero de columas de la primera matriz no es el mismo que el numero de filas de la segunda matriz
18.2.6. Multiplicacion matriz-vector
18.2.6.1. al multiplicar estos como resultado me dará otro vector
19. Combinación lineal
19.1. Dados los vectores v1, v2,…, vp en y dados los escalares c1, c2,…, cp, el vector y definido por y=c1v1+c2v2.....cnvn.
19.1.1. problemas comunes
19.1.1.1. P.C.L.1Dado vectores A y coeficientes C encontrar vector ¨y¨.
19.1.1.1.1. solución
19.1.1.2. P.C.L.2 Dado los vectores ¨A¨ y dado los vectores ¨y¨ encontrar coeficientes escalares
19.1.1.2.1. solución
19.1.1.2.2. El vector ¨y¨ es combinacion lineal de los vectores ¨a¨
19.1.1.3. P.C.L.2.1 Encontrar valores para escalares C
19.1.1.4. P.C.L.2.2 Existen valores para escalares C?
19.1.1.4.1. La ec. vectorial es consistente?
19.1.1.4.2. La ec. vectorial tiene al menos una solución?
19.1.1.5. P.C.L.3 Dados los vectores A hallar los vectores ¨y¨ que sean cominacion lineal de A
19.1.1.5.1. Se responde creando un conjunto con las condiciones que se deben cumplir
19.1.1.6. P.C.L.3.1 Dado los vectores A y dado C encontrar vectores ¨y¨ que pertenezcan a C
19.1.1.7. P.C.L.3.2 Dada una matriz A ϵR¨m*n¨ .¿Las columnanas de A generan R¨m¨?
19.1.1.7.1. si, cuando el gen de los verctores a es igual a R¨m¨ o cuando no hay condiciones para la combinacion lineal.
19.1.1.7.2. no, cuando hay condiciones para la comb. lineal o cuando el gen solo incluye a R¨m¨.
19.2. Espacios Generados
19.2.1. Es el conjunto de todos los vectores y ϵR¨m¨que son C.L de vectores ¨a¨
20. Transformaciones lineales
20.1. y=f(x)
20.1.1. x eR: INDEPENDIENTE
20.1.2. y eR: DEPENDIENTE
20.2. siempre y cuando no causen contradicciones
20.2.1. Dominio de la funcion son todos los valores de las variables independientes
20.2.2. Rango de la funcion son todos los valores de las variables dependientes.
20.2.3. Ambos son subconjuntos de los reales
20.3. f es lineal en Df cuando
20.3.1. f(v+w)=f(v)+f(w)
20.3.2. f(cv)=cf(v)
20.3.3. v,w son vectores y c pertenece a los reales
20.4. Problemas
20.4.1. dada una funcion lineal encontar
20.4.1.1. su matriz
20.4.1.1.1. se usa el teorema 10.B como metodo de resolucion
20.4.1.2. su rango
20.4.1.2.1. 1. Encontrar su matriz
20.4.1.2.2. 2. Encontrar el espacio generado de las columnas de A.
20.4.1.3. inyectividad
20.4.1.3.1. es inyectiva si para todos los valores de x corresponde a un y
20.4.1.4. suryectividad
20.4.1.4.1. es suryectiva si para todo y tiene al menos un x
20.4.1.5. biyectividad
20.4.1.5.1. cada y tiene un unico x
21. Determinantes
21.1. La matriz A debe ser cuadrada
21.2. Si las columnas de A son L. Independientes la determinante de una matriz debe ser distinta de 0
21.3. La deteerminante de A es la multiplicacion de los elementos de la diagonal principal
21.4. Si se intercambian filas el determinante cambia de signo
21.5. Metodo 1
21.5.1. Seleccional una fila/columna fija con mayor cant de ceros
21.5.2. Encontrar sign(A)
21.5.3. Encontrar las submatrices
21.5.4. Calcular det de todas las submatrices
21.6. Metodo 2
21.6.1. Reducir A forma escalonada
21.6.2. Mult. elementos de la diagonal principal
22. Valores propios
22.1. λ es valor propo de A si existe un vector perteneciente a Rn, tal que Av=λv
22.2. P.V.V.P.1.-Encontrar valor propio
22.2.1. Construir B=A-λI, λeR
22.2.2. det(A-λI)= p(λ)
22.2.3. Encontrar todos los λ tal que p(λ)=0
22.3. P.V.V.P.2.-Encontrar espacio propio Eλ=nul(A-λI)
22.3.1. Hallar los valores de λ
22.3.2. reemplazarlos y hallar el conjunto solucion