APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARA EL ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARA EL ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN by Mind Map: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARA EL ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

1. Si f es una función derivada en el intervalo (a; b) y para cada x con a <x <b se cumple f '(x)> 0, entonces la función está en el intervalo dado.

2. Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.

3. Ejemplo:

3.1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/3 x3 + x2 + 1

3.1.1. Como y‘=x2+2x=x(x+2) Se analiza el signo de la expresión x(x+2)

3.1.2. y es positiva si x <-2 o si x> 0 y 'es negativa si -2 <x <0

3.1.3. Por lo tanto el intervalo (-2; 0)

4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

4.1. Si tienes una a (a, b), tal que f (c)> = f (x) para todo x perteniente a (a, b). El valor máximo relativo de f en (a, b) es d = f (c).

4.1.1. Si usted es un miembro de la función, tiene un valor mínimo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f (c) <= f (x) para todo x perteniente a (a, b). El valor mínimo relativo de f en (a, b) es d = f (c).

4.1.2. Aplicación a la identificación de máximos y mínimos: Si f '(x0) = 0 y existe f' '(x0), entonces: f' '(x0)> 0 => f tiene un mínimo relativo en x0. f '' (x0) <0 => f tiene un máximo relativo en x0.

5. CONCAVIDAD:

5.1. Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

5.1.1. EJEMPLOS

6. PUNTOS DE INFLEXIÓN

6.1. Si f y f' son derivables en a, a es un: Punto de inflexión Si f'' = 0 y f''' ≠ 0

6.1.1. CÁLCULOS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN

6.1.1.1. 1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. 2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si: f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión. 3 Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

6.1.1.1.1. EJEMPLOS

7. EXTREMOS RELATIVOS

7.1. Una función f tiene un máximo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor máximo absoluto en el intervalo.  Una función f tiene un mínimo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de f que contiene a c tal que f (c) es el valor mínimo absoluto en el intervalo.

8. MONOTONÍA: CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

8.1.  Una función f se dice estrictamente creciente en un intervalo I si para cualesquiera 1 2 x , x en I, donde 1 2 x  x entonces ( ) ( ) 1 2 f x  f x .  Una función f se dice estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualesquiera 1 2 x , x en I, donde 1 2 x  x entonces ( ) ( ) 1 2 f x  f x .