1. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
1.1. EJEMPLO
1.1.1. VIDEO
1.1.1.1. También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece. Note además que en los puntos (x3, f(x3)) , (x5, f (x5)) y (x6, f (x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
1.1.1.2. Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b].
1.1.1.3. Funcion creciente o decreciente
1.1.1.4. En la representación gráfica anterior puede observarse la función f es: 1. Creciente en los intervalos ]a, x3[ , ]x5, x6[ 2. Decreciente en los intervalos ]x3, x5[ , ]x6, b[
2. VALORES CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN REAL
2.1. Valores Críticos
2.2. Como hallar puntos críticos de una derivada
3. CÓNCAVIDAD HACIA ARRIBA Y CONCAVIDAD HACIA ABAJO
3.1. Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
3.1.1. GRAFICA
3.1.1.1. PUNTOS DE INFLEXIÓN
3.1.1.1.1. Se dice que $ es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un intervalo $ tal que y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.
3.2. Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
3.2.1. Concavidad
3.3. Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
3.3.1. Convexidad
3.4. EJEMPLO
3.4.1. Aplicación de la derivada al trazado de curvas
4. Ingreso marginal derivado
5. Coste total derivado
6. CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA
6.1. Se llama criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.
6.1.1. VIDEO.
7. APLICACIONES
7.1. ECONOMIA
7.1.1. Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que nos permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio (Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio), cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual sea la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.
7.1.1.1. Las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio y producción total.
7.1.1.1.1. COSTE TOTAL: El coste de un producto es el gasto económico que representa la fabricación de un producto o la producción de un servicio.
7.1.1.1.2. INGRESOS TOTALES: Es la cantidad de dinero que recibe una empresa por la venta de sus productos o servicios. Función Ingresos Totales --> P(x) P es Precio Bn o Sv X es Nº de Bn o Sv vendidos
7.1.1.1.3. BENEFICIO TOTAL: Es la ganancia o beneficio obtenido al llevar a cabo una actividad económica. Se calcula restando a los Ingresos que produce la actividad económica , los costes de la misma. Función --> Bº(x) = I(x) - C(x)
7.1.1.1.4. COSTE MARGINAL: Es el aumento en el coste total que se produce cuando la cantidad de producida total varia , apareciendo una o mas cantidades adicionales, esta variacion siempre tiene que ser minima. Función --> Derivada del Coste Total ->C'(x)
7.1.1.1.5. INGRESO MARGINAL Es la variación que se produce en los ingresos totales cuando la cantidad total de bienes y servicios vendidos aumentan en una o varias cantidades adicionales. Función Ingreso Marginal --> Derivada de la función de Ingreso Total --> I´(x)
7.2. BIOLOGIA
7.2.1. Velocidad de crecimiento del cultivo de bacterias
7.2.1.1. Para hallar la velocidad de un cultivo de bacterias debemos hacer uso de la aplicación del criterio de la primera derivada de la "unción que nos esta( presentado%
7.2.1.1.1. EJEMPLOS:
8. Valor máximo y valor mínimo de una función
8.1. Valor máximo y valor mínimo de una función Si f es una función dada, entonces es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto tal que y para, siendo x un valor del dominio de la función. Si f(c)para toda x en el dominio de f, entonces f(c)es el valor máximo de f o máximo absoluto.
8.1.1. VIDEO
8.1.1.1. VALOR MAXIMO
8.1.1.1.1. El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que f'(c) sea igual a cero, no implica que en exista un máximo o un mínimo. Por ejemplo, para la función f con ecuación , se tiene que , y f'(x)=0, si x=0$; sin embargo, en no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.
8.1.1.2. VALOR MINIMO
8.1.1.2.1. Similar mente, es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto tal que para x , con x en el dominio de f. Si para toda x en el dominio de f, entonces se dice que f(c) es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.
8.1.1.3. VALORES CRITICOS
8.1.1.3.1. Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que f'(x) es igual a cero o en los que f'(x) no exist