Espacios vectoriales

1. Propiedades de la suma de vectores. Sean , , vectores en V 1) La suma es otro vector en V 2) , es decir, la suma es conmutativa 3) , es decir, la suma es asociativa 4) Existe un vector cero en V, tal que 5) Para todo vector existe un vector , tal que , y se denomina el inverso aditivo

2. definición : un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.cualquier conjunto que poseea operaciones de suma y producto por escalares diremos que es un espacio vectorial.

3. Un espacio vectorial V es un conjunto de vectores junto con dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades:

3.1. Propiedades de la multiplicación por un escalar. Sean y vectores en V, c y d constantes (escalares) 1) El vector es un vector en V 2) 3) . Los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva. 4) 5) Para todo vector , , tal que , y se denomina el inverso aditivo

4. Un espacio vectorial es un conjunto no vacio V de objetos, llamados vectores, en el que estan definidas dos operaciones, llamadas adicion y multiplicación por un escalar (números reales), sujeta a 10 axiomas (o reglas).

4.1. AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL (ADICIÓN) Conmutatividad: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢,∀ 𝑢,𝑣 ∈ 𝑉. Asociatividad: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤; ∀ 𝑢,𝑣,𝑤 ∈ 𝑉 Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢,∀ 𝑢∈𝑉. Elemento opuesto: Para cualquier 𝒖∈𝑽, existe un −𝒖∈𝑽 tal que ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 existe ( −𝑢) ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 =0 AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL (PRODUCTO POR UN ESCALAR) Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para 𝒖∈𝑽 y 𝜶,𝜷∈ℝ se cumple: 𝜶𝜷𝒖=𝜶𝜷𝒖 Primera ley distributiva: Para 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝜶 ∈ ℝ se cumple: 𝜶𝒖 + 𝒗 = 𝜶𝒖 + 𝜶𝒗 Segunda ley distributiva: Para 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se cumple: 𝜶 + 𝜷𝒖 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒖. Para cada vector 𝒖 ∈ 𝑽 se cumple: 1.𝑢 = 𝑢

5. Base de un espacio vectorial Artículos principales: Base y Dimensión. Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin, donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0 solo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

5.1. Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes

6. Ortonormal Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta definición solo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno, como sucede en los espacios euclídeos En donde el producto interno puede definirse en términos de distancias y proyecciones perpendiculares de vectores. Se pueden dar varios ejemplos: • En el espacio euclídeo tridimensional el conjunto S = {e1, e2, e3} formado por los tres vectores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) y e3=(0,0,1) es un conjunto ortonormal. • En espacios vectoriales más abstractos donde puedan definirse más de un producto interno, un conjunto podría ser ortonormal respecto al primer producto interno, pero no ser ortonormal respecto al segundo producto interno.

7. En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidtes un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro vector , es perpendicular al vector .1 Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

8. 8.1 Producto interno Producto Interno: Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>. Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:Propiedades: i. (v, v) ≥ 0 ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u) vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v)

9. El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación. u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn) ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V. Propiedades de los productos interiores: 1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0 2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w› 3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

10. En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F:V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:1. F(u+v)=F(u)+F(v) 2. ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V 3. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R