Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
*Trokut* by Mind Map: *Trokut*

1. *SUKLADNOST

1.1. *dvije dužine su sukladne ako su jednake duljine

1.2. *dva su kuta sukladna ako imaju istu mjeru

1.3. trokuti su sukladni ako i samo ako imaju sukladne odgovarajuće stranice i sukladne odgovarajuće kutove

1.4. Poučci o sukladnosti trokuta:

1.4.1. SSS (dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima stranicama)

1.4.2. SKS (dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu među njima)

1.4.3. KSK (dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u stranici i kutovima uz tu stranicu)

1.4.4. SSK (dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu nasuprot duljoj od njih)

2. *ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA

2.1. SREDIŠTE OPISANE KRUŽNICE (točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta)

2.1.1. - kako bi uopće mogli pronaći središte opisane kružnice i opisati kružnicu potrebne su nam simetrale stranica tog trokuta

2.1.1.1. Simetrala dužine je pravac koji je okomit na dužinu i prolazi njezinim polovištem.

2.1.1.1.1. Poučak o simetrali dužine: Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine.

2.1.1.1.2. Obrat poučka o simetrali dužine: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krajnjih točaka dane dužine, onda ta točka pripada simetrali te dužine.

2.1.1.2. Kružnica opisana trokutu (oko svakog trokuta se može opisati kružnica, simetrale stranica trokuta sijeku se u njezinom središtu O koje se može nalaziti unutar ali i izvan trokuta )

2.1.1.3. Opisana kružnica je kružnica koja prolazi kroz sva tri vrka trokuta.

2.2. SREDIŠTE UPISANE KRUŽNICE (točka u kojoj se sijeku simetrale unutarnjih kutova trokuta)

2.2.1. - kako bi uopće mogli pronaći središte upisane kružnice i upisati kružnicu potrebne su nam simetrale kutova tog trokuta

2.2.1.1. Simetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.

2.2.1.1.1. Poučak o simetrali kuta: Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od njegovih krakova.

2.2.1.1.2. Obrat poučka o simetrali kuta: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog kuta, onda ona pripada simetrali tog kuta.

2.2.1.2. Kružnica upisana trokutu ( za dani trokut postoji točno jedna kružnica koja dira sve tri njegove stranice , njezino središte je sjecište triju simetrala kutova trokuta i ono se uvijek nalazi unutar trokuta)

2.2.1.3. Upisana kružnica je kružnica koja dodiruje sve tri stranice trokuta.

2.3. TEŽIŠTE (točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta)

2.3.1. - kako bi uopće mogli dobiti težište moramo prvo odrediti i konstruirati težišnice tog trokuta

2.3.1.1. Dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice naziva se težišnica.

2.3.1.2. Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki T koji nazivamo TEŽIŠTE trokuta.

2.3.1.2.1. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1.

2.3.1.3. Težište trokuta je točka u kojoj se sijeku sve tri težišnice.

2.4. ORTOCENTAR (točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta)

2.4.1. - kako bi uopće mogli dobiti ortocentar prvo moramo konstruirati okomice iz svakog vrha trokuta na nasuprotnu stranicu (na tim se okomicama ujedno nalaze i visine tog trokuta) i točka u kojoj se ti pravci sjeku je ortocentar

2.4.1.1. Pravci koji sadrže visine trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo ortocentar.

2.5. Srednjica

2.5.1. Srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta.

2.5.1.1. Poučak o srednjici trokuta:

2.5.1.1.1. 1.Dužina koja prolazi polovištem jedne stranice trokuta i paralelna je s drugom stranicom srednjica je trokuta.

2.5.1.1.2. 2. Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom trokuta i dvostruko kraća od nje.

2.6. Eulerov pravac

2.6.1. Tri od ukupno četiri karakteristične točke trokuta nalaze se na istom pravcu koji se naziva Eulerov pravac.

3. *TALESOV POUČAK

3.1. Svojstvo paralela: Ako paralele na jednom kraku kuta odsijecaju sukladne dužine, onda se odsijecaju sukladne dužine i na drugom kraku.

3.2. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina: Paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine.

3.3. Obrat Talesovog poučka o proporcionalnosti: Ako dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne dužine, onda su ti pravci proporcionalni.

4. *SLIČNOST TROKUTA

4.1. Kažemo da su dva trokuta slična ako se podudaraju u svim trima kutovima.

4.2. Temeljno svojstvo sličnih trokuta: Ako su dva trokuta slična, onda su im odgovarajuće stranice proporcionalne.

4.3. Koeficijent sličnosti: Neka su trokuti ABC i A'B'C' slični, omjer njihovih stranica k=a'/a=b'/b=c'/c zove se koeficijent sličnosti.

4.4. Kriteriji za sličnost trokuta:

4.4.1. Poučak o sličnosti trokuta S-S-S

4.4.1.1. Ako su duljine stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični.

4.4.2. Poučak o sličnosti trokuta S-K-S

4.4.2.1. Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a stranice uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuti slični.

4.4.3. Poučak o sličnosti trokuta K-K

4.4.3.1. Ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični.

4.5. Svojstvo sličnih trokuta

4.5.1. Neka su trokuti ABC i A'B'C' slični uz koeficijent sličnosti k: k=a'/a=b'/b=c'/c.

4.5.2. Svi elementi trokuta A'B'C' (težišnice, simetrale kutova, visine, polumjeri opisane i upisan kružnice) proporcionalni su odgovarajućim elementima trokuta ABC uz isti faktor proporcionalnosti k.

4.5.3. Ako je k=1, onda su trokuti sukladni.

4.6. Opsezi i površine sličnih trokuta

4.6.1. Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta: O':O = k = a':a

4.6.2. Površina sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica: P':P = k² = a'²: a²

4.7. *EUKLIDOV POUČAK

4.7.1. Duljina katete pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina hipotenuze i odgovarajućeg odsječka.

4.7.2. Duljina visine pravokutnog trokuta geometijska je sredina duljina odsječaka na hipotenuzi.

4.7.3. Kateta a je geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije p katete a na hipotenuzu.

4.7.4. Kateta b je geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije q katete b na hipotenuzu.

4.7.5. Visina na hipotenuzu je geometrijska sredina ortogonalne projekcije p i q katete a i b na hipotenuzu pravokutnog trokuta.

4.7.6. b²=cq a²=cp v²=pq c=p+q

5. *HOMOTETIJA

5.1. slika

5.2. Homotetija je preslikavanje h ravnine, koje svakoj točki T pridružuje točku T'=h(T) tako da vrijedi:

5.2.1. točke O,T i T' leže na istom pravcu;

5.2.2. ako je k>0, onda T' leži na polupravcu OT;

5.2.3. ako je k<0, onda T' ne leži na polupravcu OT;

5.2.4. |OT'| = |k| • |OT|.

5.3. Svojstvo homotetije:

5.3.1. Pri preslikavanju homotetijom pravca se preslikava u pravac paralelan s njim.

5.3.2. Slika kuta je sukladan kut.

5.3.3. Slika dužine AB je dužina A'B' paralelna s početnom, a njezina je duljina jednaka |A'B'| = |k| • |AB|.

5.4. Pri preslikavanju homotetijom trokut se preslikava u njemu sličan trokut s koeficijentom |k|.