PLANO EN R3

1. El plano en R3 es un conjunto de puntos P en R3 que tiene un punto de paso Po y dos vectores a y b no paralelos en R3.

1.1. Su ecuación principal es: P={P∈R3 / P=Po+ra ̅+sb ̅;r,s∈R}

2. El plano en R3 tiene diversas ecuaciones.

2.1. Ecuación vectorial del plano P que pasa por el punto Po y es generado por los vectores a y b.

2.2. Vector normal en el plano: Cualquier vector no nulo 𝑛̅ ortogonal al plano P, es ortogonal a los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅, se llama vector normal al plano P. En particular un vector normal al plano P es 𝒏̅ = 𝒂̅×𝒃̅

2.2.1. Si 𝑃0 es un punto fijo del plano 𝑷 y P es un punto cualquiera de 𝑷, entonces el vector 𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅ es ortogonal al vector normal 𝑛̅ = 𝑎̅×𝑏̅ Luego la ecuación del plano está dada por 𝑃: (𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅ = 0 Expresión llamada ecuación normal del plano P con punto de paso 𝑃0 y vector normal

3. Posiciones relativas de dos planos.

3.1. Sean los planos 𝑃1: (𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅1 = 0 y 𝑃2: (𝑄̅̅̅ 0 ̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅2 = 0 en 𝑅 3 . Se presentan las siguientes posiciones relativas:

3.1.1. Planos ortogonales: Los planos 𝑃1: (𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅1 = 0 y 𝑃2: (𝑄̅̅̅ 0 ̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅2 = 0 son ortogonales si sus vectores normales 𝑛̅1 y 𝑛̅2 son ortogonales. Es decir, 𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⟺ 𝑛̅1 ⊥ 𝑛̅2

4. Angulo entre dos planos

4.1. El ángulo entre los planos 𝑃1: (P ̅ o P ̅ ) ∙ 𝑛̅1 = 0 y 𝑃2: (𝑄̅̅̅ 0 ̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅2 = 0 se define como el ángulo formado entre sus vectores normales 𝑛̅1 y 𝑛̅2. Es decir, ∡(𝑃1, 𝑃2 ) = ∡(𝑛̅1, 𝑛̅2 ) ↝ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑛̅1 ∙ 𝑛̅2 ‖𝑛̅1‖‖𝑛̅2‖

5. Planos paralelos: Los planos 𝑃1: (𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅1 = 0 y 𝑃2: (𝑄̅̅̅ 0 ̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅2 = 0 son paralelos si sus vectores normales 𝑛̅1 y 𝑛̅2 son paralelos. Es decir, 𝑃1 ∕∕ 𝑃2 ⟺ 𝑛̅1 ∕∕ 𝑛̅2 Notas. • Si 𝑃1 y 𝑃2 son paralelos entonces 𝑃1 = 𝑃2(coincidentes) o 𝑃1 ∩ 𝑃2 = ∅ (intersección nula) • Si 𝑃1 y 𝑃2 no son paralelos entonces su intersección es una recta

6. Distancia de un punto al plano

6.1. Distancia de un punto al plano equivale a la longitud de un perpendicular, bajado de un punto sobre el plano.

7. Posiciones relativas entre una recta y un plano

7.1. Recta paralela a un plano: La recta 𝐿: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑡𝑎̅,𝑡 ∈ 𝑅 es paralela al plano 𝑃: (𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅ = 0 si y sólo su vector direccional 𝑎̅ y su vector normal 𝑛̅, respectivamente, son ortogonales. Es decir; 𝐿 ∥ 𝑃 ⟺ 𝑛̅ ⊥ 𝑎̅ ⇔ 𝑛̅ ∙ 𝑎̅ = 0 y puede suceder que 𝐿 ∩ 𝑃 = 𝐿 ó 𝐿 ∩ 𝑃 = 0 nulo

7.2. Recta ortogonal a un plano: La recta 𝐿: 𝑃 = 𝑄0 + 𝑡𝑎̅,𝑡 ∈ 𝑅 es ortogonal al plano 𝑃: (𝑃̅̅ 0 ̅̅𝑃̅) ∙ 𝑛̅ = 0 si y sólo su vector direccional 𝑎̅ y su vector normal 𝑛̅, respectivamente, son paralelos. Es decir; 𝐿 ⊥ 𝑃 ⟺ 𝑛̅ ∥ 𝑎̅ En general, la recta 𝐿 que no es paralela al plano 𝑃 se interceptan en un punto.