Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
Matematika by Mind Map: Matematika

1. Halmazok

1.1. A halmaz és a halmaz elemeinek a fogalmát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk.

1.2. Egy halmaz akkor van megadva, ha bármiről el tudjuk dönteni, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem.

1.3. Két halmaz akkor és csakis akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemei. Azaz A=B v. B=A. Ha egy halmaz elemeinek száma egy természetes szám, akkor véges halmazról beszélünk. Ha egy halmaz nem véges, akkor végtelen .

1.4. Jelölések:

1.4.1. • halmaz: nyomtatott nagy betűk: A B C • Az x eleme az A halmaznak: xeA • halmaz eleme: a fordított nagy E betű. • halmaz elemeinek száma: A • pozitív egész számok halmaza: N+ • természetes számok halmaza: N • egész számok halmaza: Q • irracionális számok halmaza: I • valós számok halmaza: R

1.5. A halmazokat többféleképpen is megadhatjuk:

1.5.1. • Elemei felsorolásával pl.: A=[1;2;3] • Egy jellemző közös tulajdonsággal pl.: B = prím számok • Halmazábrával ( Venn - Diagrammal) • Számegyenesen

1.6. Üres halmaz

1.6.1. az a halmaz amelynek nincs egyetlen eleme sem.

1.7. Részhalmaz:

1.7.1. Az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme. Jelölése: ( A részhalmaza a B-nek)

1.8. valódi részhalmaz

1.8.1. Az A halmaz a B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha a B halmaz tartalmazza az A halmaz összes elemét, de a B halmaznak van legalább egy olyan eleme, ami nincs benne az A halmazban. Jelölése: A<B Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. ¤ < A minden halmaz önmagának részhalmaza. A < A

1.9. Ekvivalens halmaz

1.9.1. Ekvivalens halmazról akkor beszélünk, ha elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

2. Halmazműveletek

2.1. Halmazok vizsgálatakor meg kell adni egy olyan halmazt, melynek a vizsgált halmazok részhalmazai, ezt alaphalmaznak vagy univerzumnak nevezzük. Az A és B halmaz diszjunkt, ha metszetük az üres halmazt.

2.2. Unió

2.2.1. Az A és a B halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelynek az A és B halmazok közül legalább egyiknek elemei

2.3. Jelölése

2.3.1. AuB

2.4. Tulajdonságok

2.4.1. AnB = BnA kommutatív (AnB)nC=An(BnC) asszociatív

2.5. Metszet

2.5.1. Az A és a B halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek az A és a B halmazok mindegyikének elemei.

2.6. Különbség

2.6.1. Az A és a B halmaz különbségének nevezzük az A halmaz azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei a B halmaznak.

2.7. Komplementer halmaz(kiegészítő halmaz)

2.7.1. Egy H (nem üres) halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. A H\A halmazt az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének nevezzük. Jelölése: Ä Tulajdonságok: AuÄ=H

3. Számegyenesek, intervallumok

3.1. A számegyenes olyan egyenes, amelyen kijelölünk egy irányt és két pontot, amelyekhez számokat rendelünk. Ezzel meghatározzuk a 0 és az egy helyét. Bármely két egész szám megjelölése alapján egyértelműen határozható meg a 0 és az 1 helye. A számegyenes minden pontjához tartozik egy valós szám, és fordítva: minden valós számhoz tartozik egy pont a számegyenesen. Bármely rövid szakaszon van racionális és irracionális szám is.

3.2. A számegyenes részhalmazai:

3.2.1. • Félegyenesek • Intervallumok ( zárt, nyitott, balról zárt jobbról nyitott, jobbról zárt balról nyitott)

4. Gráfok

4.1. Pontokból és a pontokat összekötő vonalakból álló alakzat. A pontok a gráf pontjai vagy csúcsi, a vonalak a gráf élei.

4.2. Jelölések:

4.2.1. • A gráf pontjainak halmazát V jelöljük. • A gráf éleinek halmazát E jelöljük.

4.3. Hurok az olyan él, amelynek két végpontja ugyanaz a pont. Többször élt kapunk, ha két pont között egynél több élet húzunk. Egy gráfot egyszerű gráfnak nevezünk, ha pontjaik és éleink halmaza véges, és a gráfban nincsen se burok se többszörös él. Egy gráf pontjának fokszáma a pontban található élek száma.