1. integral indefinida
1.1. Si F'(x)=f(x) para todo x en el dominio de f, decimos que F(x) es una antiderivada, una primitiva o una integral de f(x).
1.2. Por otro lado, observemos que (F(x)+C)’=F'(x)=f(x), lo cual implica que la integral de una función no es única, pues dando diferentes valores a la constante C obtendremos diferentes antiderivadas.
1.2.1. Como podemos ver, la integral indefinida de la función f(x) es una familia de funciones.
1.3. Por esta razón F(x)+C es llamada la Integral Indefinida de f(x) y C es llamada constante de integración y lo escribimos de la siguiente manera
1.3.1. ∫▒〖f(x)dx=f(x)+c〗
2. integral definida
2.1. Sea y=f(x) una función real, continua en un intervalo cerrado [a,b] y sea F(x) una antiderivada de f(x). Se llama integral definida de f(x) entre los límites a y b al número F(b)-F(a), y se denota como sigue
2.1.1. ∫_a^b▒█(f(x)dx=F(b)-F(a)
2.1.1.1. Aquí «a» es llamado límite inferior y «b» es llamado límite superior. Como se puede ver, la integral definida de una función es un número.
3. Métodos de integración
3.1. Integración por cambio de variable.
3.1.1. Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
3.1.1.1. ∫▒〖f(x)dx=∫▒〖f[g(t)] g^' t(t)dt+k〗〗
3.2. Integración por partes
3.2.1. Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces: u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:
3.2.1.1. ∫▒〖u×dv=u×v-∫▒〖v×du〗〗
3.3. Sustitución trigonométrica.
3.3.1. Si en el integrando aparece un radical de la forma
3.3.2. √(a^2-x^2 )
3.3.3. tomamos el cambio de variable:
3.3.4. x = a sen θ, con a > 0 ;
3.3.5. θ = arcsenx