Показательная и логарифмическая функции

1. Логарифмическая функция, ее свойства и график

1.1. График функции y=log(a)(x) называют логарифмической кривой.

1.1.1. Рассмотрим свойства данной функции при различных значениях параметра а:

1.1.1.1. a>1

1.1.1.1.1. D(f)=(0,+∞)

1.1.1.1.2. не является ни четной, ни нечетной

1.1.1.1.3. возрастает на (0,+∞)

1.1.1.1.4. не ограничена сверху, не ограничена снизу

1.1.1.1.5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

1.1.1.1.6. непрерывна

1.1.1.1.7. E(f)=(-∞,+∞)

1.1.1.1.8. выпукла вверх

1.1.1.2. 0<a<1

1.1.1.2.1. D(f)=(0,+∞)

1.1.1.2.2. не является ни четной, ни нечетной

1.1.1.2.3. убывает на (0,+∞)

1.1.1.2.4. не ограничена сверху, не ограничена снизу

1.1.1.2.5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

1.1.1.2.6. непрерывна

1.1.1.2.7. E(f)=(-∞,+∞)

1.1.1.2.8. выпукла вниз

2. Свойства логарифмов

2.1. Теорема 1. Логарифм произведения двух пложительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. log(a)(bc)=log(a)(b)+log(a)(c).

2.2. Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел, равен разности логарифмов этих числе. log(a)(b:c)=log(a)(b)-log(a)(c).

2.3. Теорема 3. Если a и b - положительные числа, причем a≠1, то для любого числа r справедливо равенство: log(a)(b^r)=r*log(a)(b)

3. Логарифмические уравнения

3.1. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида log(a)(f(x))=log(a)(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

3.2. Теорема*. Пусть a>0 и a≠1, X - решение системы неравенств {f(x)>0, g(x)>0}. Тогда уравнение log(a)(f(x))=log(a)(g(x)) равносильно на множестве Х уравнению f(x)=g(x).

3.3. Методы решений логарифмических уравнений:

3.3.1. Функционально-графический метод. Он основан на графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

3.3.2. Метод потенцирования. Он основан на теореме равносильности.

3.3.3. Метод введения новой переменной.

4. Логарифмические неравенства

4.1. Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида log(a)(f(x))>log(a)(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

4.2. Теорема1*. Пусть a>1 и X - решение системы неравенств {f(x)>0, g(x)>0}. Тогда неравенство log(a)(f(x))>log(a)(g(x)) равносильно на множестве Х неравенству f(x)>g(x).

4.3. Теорема2*. Пусть 0<a<1 и X - решение системы неравенств {f(x)>0, g(x)>0}. Тогда неравенство log(a)(f(x))>log(a)(g(x)) равносильно на множестве Х неравенству f(x)<g(x).

5. Показательная функция, ее свойства и график

5.1. Функцию вида y=a^x, где а > 0, a≠1, называется показательной функцией.

5.1.1. Рассмотрим св-ва показательной функции при различных значениях параметра а.

5.1.1.1. а>1

5.1.1.1.1. D(f)=(-∞,+∞)

5.1.1.1.2. E(f)=(0;+∞)

5.1.1.1.3. Возрастает

5.1.1.1.4. Непрерывна

5.1.1.2. 0<a<1

5.1.1.2.1. D(f)=(-∞,+∞)

5.1.1.2.2. E(f)=(0;+∞)

5.1.1.2.3. Убывает

5.1.1.2.4. Непрерывна

6. Показательные неравенства

6.1. Определение. Показательными неравенствами называют неравенства вида a^(f(x))>a^(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

6.2. Теорема*.

6.2.1. при a>1:

6.2.1.1. Показательное неравенство a^(f(x))>a^(g(x)) равносильно неравенству того же смысла f(x)>g(x)

6.2.2. при 0<a<1:

6.2.2.1. Показательное неравенство a^(f(x))>a^(g(x)) равносильно неравенству противоположного смысла f(x)<g(x)

6.3. Теорема 1. Если a>1, то неравенство a^x>1 справедливо тогда и только тогда, когда x>0, неравенство a^x<1 справедливо тогда и только тогда, когда x<0.

6.4. Теорема 2. Если 0<a<1, то неравенство a^x>1 справедливо тогда и только тогда, когда x<0; неравенство a^x<1 справедливо тогда и только тогда, когда x>0.

7. Показательные уравнения

7.1. Определение. Показательными уравнениями называют уравнения вида a^(f(x))=a^(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

7.2. Теорема*. Показательное уравнение a^(f(x))=a^(g(x)) (где a>0, a≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).

7.3. Теорема 1. Если а>1, то равенство a^t=a^s справедливо тогда и только тогда, когда t=s.

7.4. Теорема2. Если 0<a<1, то равенство a^t=a^s справедливо тогда и только тогда, когда t=s.

8. Дифференцирование показательной и логарифмической функции

8.1. (a^x)′=(a^x) lna

8.2. (e^x)′=e^x

8.3. (log(a)(x))′=1/(x*ln(a))

8.4. (ln(x))′=1/x

9. Понятие логарифма

9.1. Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.