Toán Học

Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
Toán Học by Mind Map: Toán Học

1. 1. Định nghĩa un là cấp số nhân ⇔un+1=un.q, với n∈N∗ Công bội q=un+1un

2. 3. Tính chất uk=uk−1+uk+12 với k≥2 hay uk+1+uk−1=2uk

3. cấp số cộng

3.1. 1. Định nghĩa un là cấp số cộng nếu un+1=un+d với n∈N∗, d là hằng số. Công sai d=un+1−un

3.2. 2. Số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d,(n≥2) . d=un−u1n−1 .

3.3. 4. Tổng n số hạng đầu Sn=n(u1+un)2 , với n∈N∗ hay Sn=n[2u1+(n−1)d]2

4. cấp số nhân

4.1. 2. Số hạng tổng quát: un=u1.qn−1,(n≥2)

4.2. 3. Tính chất: u2k=uk−1.uk+1 hay |uk|=√uk−1.uk+1, k≥2

4.3. 4. Tổng n số hạng đầu Sn=u1(qn−1)q−1, (q≠1).

5. giới hạn hàm số

5.1. Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực và c là một số thực. Biểu thức có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến c là L. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2: f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1) 1.900 1.990 1.999 không xác định 2.001 2.010 2.100 Như vậy, f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1. Karl Weierstrass đã hình thức hóa định nghĩa giới hạn hàm số bằng phương pháp (ε, δ) vào thế kỉ 19. Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn có thể có giới hạn tại vô cực. Ví dụ, xét hàm số f(100) = 1.9900 f(1000) = 1.9990 f(10000) = 1.9999 Khi x trở nên vô cùng lớn thì giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và giá trị của f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ lớn. Ta nói "giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2" và viết

6. giới hạn dãy số

6.1. 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ĐN: Ta nói rằng dãy số (un)có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim(un)=0 hoặc limun=0 hoặc un→0. Nhận xét: a) Dãy số (un)có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số (|un|) có giới hạn 0. Dãy số không đổi (un)với un=0 có giới hạn 0

6.2. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn ĐN: Ta nói rằng dãy số (un)có giới hạn là số thực L nếu lim(un−L)=0 Khi đó ta viết lim(un)=L hoặc limun=L hoặc un→L Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Ví dụ : Dãy số không đổi (un)với un=c(c là hằng số) có giới hạn là c vì lim(un−c)=lim(c−c)=lim0=0

6.3. 1.Dãy số có giới hạn +∞ ĐN: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết : lim(un)=+∞ hoặc limun=+∞ hoặc un→+∞ 2. Dãy số có giới hạn −∞ ĐN: Ta nói rằng dãy số (un)có giới hạn là −∞ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhở hơn số âm đó. Khi đó ta viết : lim(un)=−∞ hoặc limun=−∞ hoặc un→−∞ lim(un)=−∞⇔lim(−un)=+∞ Các dãy số có giới hạn +∞ và −∞ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Định lí: Nếu lim|un|=+∞ thì lim1un=0