1. Теория колец
1.1. Определение: Алгебра (К,+,*) - с 2 бинарными алгебраическими операциями называется кольцом, если для этих операций в множестве К выполнимы свойства:
1.1.1. 1. (К,+) - абелева группа.
1.1.2. 2. Умножение ассоциативно (для любых а,б,с прин К, (аб)с=а(бс))
1.1.3. 3. Умножение дистрибутивно относительно сложения. (для любых а,б,с прин К, а(б+с)=аб+ас и (б+с)а=ба+са)
1.1.4. Если в кольце существует единичный элемент (ае=еа=а), то его называют кольцом с единицей.
1.1.5. Для любого а,б прин К, аб=ба
1.1.6. Свойства кольца:
1.1.6.1. 1. Т.к. (К,+) - абелева группа в кольце (К,+,*), то в нем разрешено и притом однозначно уравнение а+х=б, т.к. а прин К=> есть -а. В кольце определена операция вычитания всегда! -а+(а+х)=-а+б; (-а+а)+х= -а+б; 0+х=-а+б; х=-а+б; х=б-а.
1.1.6.2. 2. В кольце нулевой элемент является поглощающим. для любого а прин К, 0 прин К => а*0=0*а=0.
1.1.6.3. 3. В кольце для любого а,б прин К справедливо равенство: -а*б=-аб=а*(-б)=-аб.
1.1.6.4. 4. Дистрибутивный закон умножения относительно вычитания. для любого а,б,с прин К, (а-б)с=ас-бс. Доказательство: (а-б)с=(а+(-б))с=ас+(-б)с=ас-бс.
1.2. Идеалы кольца
1.2.1. Определение: Непустое подмножество G множества К является идеалом кольца (К,+,*), если в нем выполняются 2 условия: 1. Для любых а,б прин G, (а-б) прин G. 2. Для любых а,б прин G, любой х прин К, а*х прин G.
1.2.2. Теорема: Если G - идеал кольца (К,+,*), то сложение и умножение - алгебраические операции в G, а алгебра (G,+,*) является подкольцом кольца (К,+,*). Вывод: Любой идеал кольца алгебры (G,+,*) является подкольцом данного кольца, но не для любого подкольца его основное множество является идеалом данного кольца.
1.3. Действия над идеалами
1.3.1. Пусть (К,+,*) - коммутативное кольцо. G и У - идеалы. Сумма идеалов G и У называется множество элементов вида а+б, где а прин G, б прин У.
1.3.2. Теорема: Сумма идеалов кольца есть идеал данного кольца.
1.3.2.1. Доказательство: 1. Т.к. G и У - идеалы, то G, У подмножество К => G+У - подмножество К. G не = 0, у не = 0, т.е. G+У не = 0. 2. (а+б) прин G+У, а прин G, б прин У; (а1+б1)-аналогично => (а-а1)(б-б1) прин G+У, т.к. а,а1 прин G, то (а-а1) тоже; б,б1 прин У, то (б-б1) тоже. 3. (а+б)х=ах+бх прин G+У.
1.3.3. Произведением идеалов G и У кольца (К,+,*) называется множество элементов вида G*У={а*б|а прин G, б прин У}
1.3.3.1. Доказательство: 1. Тк G и У - идеал, то G и У подмножество К=>G*У подмножество К и не = 0. 2. (аб)(а1б1)=(аа1)(бб1) прин G*У. 3. (аб)х=а(хб) прин G*У.
1.3.4. Определение: пересечением идеалов кольца (К,+,*) называется пересечение его множеств G и У={a| а прин G, б| б прин У}. Теорема: Пересечение идеалов - есть идеал данного кольца.
1.3.4.1. Доказательство: G=(2) - числа, которые делятся на 2; У=(3) - числа, которые делятся на 3 - пересечение G и У=(6).
1.3.5. Классы вычета по идеалам. Пусть (К,+,*) - коммутативное кольцо, G - идеал К+> (G,+,*) - подкольцо => G-кольцо. По определению кольца алгебра (К,+) - абелева группа, (G,+) - её подгруппа, т.к. (К,+) - абелева группа, то (G,+) - н.д. Следовательно, (G,+) определяет разбиение группы (К,+) на непересекающиеся смежные классы в кольце (К,+,*). Эти смежные классы называются классами вычета по идеалу. G={0,а,б,с...}, х+G={х,х+а,х+б,х+с...}, у+G={у,у+а,у+б,у+с...}.
1.4. Сравнение по идеалам
1.4.1. Определение: Элементы а и б кольца (К,+,*) называются сравнимыми по идеалам, если их разность принадлежит идеалу. а≡б(У) <=>(а-б) прин У.
1.4.2. Критерии сравнимости: Чтобы эти кольца были сравнимы по идеалу, необходимо и достаточно, чтобы они принадлежали одному классу вычетов по данному идеалу.
1.4.3. Свойства сравнимости: 1. Любой элемент сравним сам с собой по его идеалу (рефлективность) а≡а(У). 2. Свойство симметричности. а≡б(У)=>б≡а(У). 3. Свойство транзитивности. а≡б(У), б≡с(У), а≡с(У). 4. а≡б(У), с≡д(У) =>а+-с≡б+-д(У) - можно складывать. 5. ас≡бд(У) - можно перемножать. 6. а≡б(У), для любого m прин N => mа≡mб(У)7. а≡б(У), любой n прин N=> a^n≡б^n(У)
1.5. Область целостности
1.5.1. Определение: Областью целостности называется коммутативное кольцо, содержащее не менее 2х элементов без делителей нуля. (Множество матриц, функций, Z6 - не являются)
1.5.2. Свойства отношений делимости в о.ц.
1.5.2.1. Многие свойства делимости сохраняются в любом кольце, но не в каждом кольце можно говорить о частном 2х элементов, даже если а делится нацело на б, т.к. в некоторых кольцах деление выполняется неоднозначно.
1.5.2.1.1. Теорема: Пусть (К,+,*) - область целостности, если а не равно 0 является элементом области целостности, то для любого б и с прин К следует ас=аб=>в=с.
1.5.2.2. Определение: Если (К,+,*) - область целостности и а делится нацело на б, то единственное с прин к| а=бс - называется частным от деления элемента а на элемент б.
1.5.3. Ассоциированные элементы области целостности.
1.5.3.1. Определение: Элементы а и б прин (К,+,*) называются ассоциированными, если а делится нацело на б, а б делится нацело на а.
1.5.3.2. Свойства:
1.5.3.2.1. 1. Отношение ассоциированности в области целостности есть отношение эквивалентности, т.к. 1) а~а, 2) а~б, то б~а, 3) а~б б~с, то а~с.
1.5.3.2.2. 2. Если а~б и с делится нацело на б, то с делится нацело на а.
1.5.3.2.3. 3. В области целостности а~б тогда и только тогда, если существует обратный элемент области целостности и|а=иб.
1.5.4. Простые и составные элементы области целостности.
1.5.4.1. Любой элемент а прин к не равный 0 делится на обратный элемент и прин к=> и на любой ~ с а элемент. Такие делители называют тривиальными. Определение: Собственным делителем а называется любой его нетривиальный делитель.
1.5.4.2. Простым или неприводимым элементом области целостности (К,+,*) называется элемент не равный нулю, обратный или имеющий только тривиальные делители. (т.к. любой делитель простого элемента либо обратим либо ~ с ним )
1.5.4.3. Элемент области целостности называется составным или приводимым, если он не равен нулю и его можно представить в в виде произведения 2х необратимых элементов кольца (К,+,*).
1.5.4.4. Вывод: 1. В любом поле нет ни простых, ни составных элементов, т.к. в поле каждый элемент не равный нулю обратим. 2. Множество элементов области целостности распадается на 4 класса : 1) 0; 2) Множество обратных элементов; 3) множество простых элементов; 4) множество составных элементов.
1.6. Фактор-кольцо
1.6.1. Рассмотрим коммутативное кольцо (К,+,*), I - идеал этого кольца. Рассмотрим множество классов по вычетам по I, т.е. множество смежных классов группы (К,+) по н.д. (I.+). Нами установлена операция сложения классов: (x+I)+(y+I)=(x+y)+I; (x+I)(y+I)=xy+I. Теорема: Алгебра K/I - является кольцом. Сначала ищем смежные классы, потом строим таблицу сложения, таблицу умножения, обратного элемента и таким образом мы понимаем, что (K/I,+,*) является фактор-кольцом (К,+,*) по идеалу I.
1.7. Обратные элементы кольца
1.7.1. Определение: Элемент а называется обратным или делителем е, если во множестве К существует элемент б, такой что а*б=е, б=а^-1.
1.7.2. Свойства обратных чисел:
1.7.2.1. 1. Если а делится нацело на б, и-обратный элемент, то а нацело на (б*и)
1.7.2.1.1. Доказательство: Существует и1|и*и1=е. Существует с прин К| а=б*с=б*с*е=б(ии1)*с=(би)(и1с).
1.7.2.2. 2. Если а нацело на б, и-обратный элемент, то (а*и)нацело на б.
1.7.2.3. 3. Пусть (К,+,*) - коммут кольцо с е, А - множество всех обратных элементов б данного кольца. Тогда умножение - алгебраическая операция по А, а алгебра (А,*) - абелева группа. Данная группа называется группой обратных элементов кольца.
1.8. Вопросы делимости в кольце
1.8.1. Рассмотрим коммутативное кольцо с 1, элемент б называют делителем элемента а, а элемент а называется кратным б, если во множестве К существует элемент с, такой, что а=бс. В поле (Р,+,*) любой элемент а делится на любой элемент б.
1.8.2. Свойства делимости:
1.8.2.1. 1. Отношение делимости рефлексивно: любой элемент а прин К и не равен 0 нацело делится на само себя.
1.8.2.2. 2. Отношение делимости транзитивно: а делится нацело на б, б делится нацело на с, значит а делится нацело на с.
1.8.2.3. 3. если а1 делится нацело на б, а2 делится нацело на б... аn делится нацело на б, значит (а1+а2+...+аn делятся нацело на б)
1.8.2.4. 4. если хотя бы один из элементов: а1,а2,...аn делится нацело на б, то и произведение делится нацело на б.
1.8.2.5. 5. если (а1+а2+...+аn) делится нацело на б, а нацело на б, а2 нацело на б,... аn-1 нацело на б => аn нацело на б, все, кроме одного делятся, то и последнее делится.
1.8.2.6. 6. Если любой элемент а прин к делится нацело на единичный элемент е, то а=еа.
1.8.2.7. 7. любой элемент а прин к делится нацело на 0.
1.9. Поля
1.9.1. Определение: Полями назовем алгебру (Р,+,*), содержащую не менее 2х элементов, в которых выполняются следующие свойства:
1.9.1.1. 1. (Р,+,*) - коммутативное кольцо.
1.9.1.2. 2. Для любого а прин Р существует единичный элемент прин Р| ае=еа=а.
1.9.1.3. 3. для любого а не равного нулю прин Р существует обратный элемент прин Р| а*а^-1=а^-1*а=е.
1.10. Подкольца
1.10.1. Определение: Рассмотрим кольцо (К,+,*), А подмножество К (А,+,*) - алгебра называется подкольцом кольца (К,+,*), если оно само является кольцом.
1.10.2. Критерии подкольца: Пусть (К,+,*) - кольцо, А подмножество К, (А,+,*) - алгебра. Для того чтобы алгебра (А,+,*) являлась подкольцом необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента а прин А => (-а) прин А.
1.10.3. Необходимое условие. Дано (А,+,*) - подкольцо. Доказать что для любого а прин А =>(-а)прин А.
1.10.3.1. Доказательство: (А,+,*) - подкольцо => (А,+,*) - кольцо, по определению для любого а прин А существует (-а) прин А (из того, что (А,+) - группа). (А,+,*) - кольцо => (А,+) - группа =>(-а)прин А.
1.10.4. Достаточное условие. Дано (К,+,*), А подмножество К, (А,+,*). Дано утверждение для любого а прин А => (-а)прин А. Доказать, что (А,+,*) - подкольцо.
1.10.4.1. Доказательство: (К,+,*) - кольцо => (К,+) - абелева группа. А подмножество К, (А,+) - алгебра, для любого а прин А=>(-а)прин А=> (А,+) - подгруппа группы (К,+) по критерию. А по определению группы следует, что (А,+) - абелева группа, т.к. (К,+) - абелева группа. Алгебраическая операция в А. Свойства операции умножения в А сохраняются (Ассоциативность и дистрибутивность), т.к. они выполняются в (К,+,*), а А подмножество К. Таким образом (А,+,*) является кольцом.А раз оно кольцо, то оно является и подкольцом кольца (К,+,*).
2. Теория групп
2.1. Определение: группа-отображение декартового пр-я мн-ва (бинарная алг операция на мн-ве х), группа существует при сущ. в ней алгебры (мн-во с заданными на ней алг операциями) и при выполнении условия сущ-я группы
2.1.1. 1. Ассоциативность
2.1.2. 2. Сущ-е нейтрального элемента
2.1.3. 3. Сущ-е симметричного эл-та
2.1.4. Если в группе выполняется коммутативное свойство, то группу называют коммутативной или абелевой. (а*б=б*а)
2.1.4.1. Абелева группа - множество невырожденных матриц, относительно умножения.
2.1.5. Умножение-мультипликативная группа, сложение - аддитивная.
2.2. Нормальный делитель
2.2.1. Теорема Лангранжа: Пусть (G,*) - конечная группа порядка n. Во всякой конечной группе порядка n порядок любой подгруппы является делителем порядка самой группы.
2.2.2. Определение: Подгруппа (А,*) называется нормальным делителем группы (G,*), А подмножество G, если левостороннее и правостороннее данной группы совпадают.
2.2.3. Если G - любая абелева группа, то любая её подгруппа будет нормальным делителем.
2.2.4. Критерии: Подгруппа (А,*) группы (G,*) является нормальным делителем данной группы тогда и только тогда, когда любой х принадлежащий G для любого а принадлежащего А=а*х*а^-1 принадлежит А.
2.3. Фактор-группа
2.3.1. Пусть дана группа (G,*), А принадлежит G, (А,*) - нормальный делитель. Н.Д разбивает группу на непересекающиеся левые и правые смежные классы, причем их можно не различать. G/А - множество {А, аА, бА, сА,...}. На данном множестве можно определить операцию умножения классов.
2.3.2. Произведением смежных классов называется смежный класс, состоящий из элементов вида аА*бА={а1,б1| а1 принадлежит А, б1 принадлежит Б} следовательно произведение двух любых смежных классов группы (G,*) по н.д. есть смежный класс. Т.Е. G/А - алгебра.
2.3.3. Теорема: Алгебра G/А является группой.
2.3.3.1. Доказательство: 1. Операция умножения ассоциативна,т.к. умножение классов сводится к умножению элементов их определяющих, а элементы берутся из группы G, в ней умножение ассоциативно. 2. Нейтральный элемент - класс А (еА*аА=еаА=аА). 3. Для каждого элемента есть обратный (для любого а прин G существует а^-1 прин G, т.е. существует хотя бы один a^-1| аА*а^-1А=(а*а^-1)А=А ) Таким образом G/A является фактор-группой для группы (G,*) по н.д. (А,*).
2.4. Смежные классы
2.4.1. Определение: Левым смежным классом группы (G,*) по подгруппе (А,*) порождаемым элементом х из множества G называется множество элементов вида: х принадлежит G, хА={ха,хб,хс,...}. Произведение двух любых смежных классов по нормальному делителю есть смежный класс. Свойства:
2.4.1.1. 1. Любой левый смежный класс порождается любым из своих элементов.
2.4.1.2. 2. 2 любых смежных класса группы (G,*) по подгруппе (А,*) или совпадают или не имеют ни одного общего элемента.
2.4.1.3. Левостороннее разложение группы (G,*) по подгруппе (А,*) - вся группа (G,*) раскладывается на не пересекающиеся левые смежные классы по подгруппе (А,*). Аналогично определяется правый смежный класс и правостороннее разложение.
2.4.1.4. Для абелевой группы её разложения: левостороннее и правостороннее по любой подгруппе совпадают, т.е. можно говорить просто о разложении группы по подгруппе.
2.5. Порядок элемента группы - множество элементов данного множества. Это наименьшее натуральное число n, такое что а^n=e (единичный элемент), если а^n не= е, то а - элемент бесконечного порядка. Свойства:
2.5.1. 1. Если элемент группы имеет конечный порядок n, то все элементы множества {а0=е, а1,а2,а3,...,аn-1} будут различными.
2.5.2. 2. Если элемент а имеет неконечный(?) порядок n, то равенство а^m=е,то m делится нацело на n.
2.6. Подгруппы
2.6.1. Определение: Алгебра (А,*), где А подмн-во G называется подгруппой группы (G,*), если она сама является группой. Также и сама группа может являться для себя подгруппой(тривиальная). Критерии подгруппы:
2.6.1.1. Чтобы алгебра (А,*) была подгруппой (G,*) необходимо и достаточно, чтобы для любого а принадлежащего А существовал обратный элемент.
2.7. Изоморфизм групп
2.7.1. Определение: отношение изоморфизма на каком-либо множестве групп рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Группы G и G1 называются изоморфными, если существует отображение фи множества G на G1, удовлетворяющее условиям
2.7.1.1. 1. Фи - взаимнооднозначное отображение (а не=б т.е. фиА не= фиБ)
2.7.1.2. 2. Отображение фи сохраняет операции. (фи (а+б)= фиА+фиБ)
2.8. Свойства группы:
2.8.1. 1. В группе произведение нескольких элементов определяется индуктивно (а1*а2*а3=(а1*а2)*а3)
2.8.2. 2. Единичный элемент - единственный.
2.8.3. 3. В группе для любого а обратный элемент единственный.
2.8.4. 4. (а^-1)^-1=а
2.8.5. 5. Операция умножения сократима в группе. (ах=ау т.е. х=у)
2.9. Циклические группы
2.9.1. 1.Мультипликативная группа (G,*) называется циклической, если её основное множество состоит из степеней одного и того же элемента данной группы, этот элемент называется образующим (G={a^-3, a^-2, a^-1, a^0=e, a, a^2,...})
2.9.2. 2. Аддитивная группа называется циклической, если её основное множество состоит из кратных одного и того же элемента данной группы, этот элемент называется образующим. (G={-3a, -2a, -a,a,0,2a,...})
2.9.3. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической.