Vektori

1. DULJINA VEKTORA |AB|=√(x2-x1)2(na kvadrat)+(y2-y1)2 (na kvadrat)

2. ASOCIJATIVNOST ZBRAJANJA VEKTROA- za bilo koja tri vektora a, b i c vrijedi: (a+b)+c=a+(b+c)

3. Osnovni pojmovi o vektorima

3.1. Vektor-usmjerena dužina AB u kojoj razlikujemo početnu točku A i završnu točku B.

3.2. Vektor je određen ako poznajemo njegovu duljinu,s mejr i orijentaciju.

3.3. DULJINA VEKTORA-udaljenost je između njegove početne i završne točke.

3.4. Ako dva vektora leže na paralernim pravcima imaju isti smejer, odnosno kolinearni su. U suprotnom su nekolinearni vektori.

3.5. Vektor je odreženi ako mu znamo duljinu, smjer i orijentaciju (ako se dva vektora podudaraju po duljini, smjeru i orijentaciji znači da su jednaka).

3.6. Vektore koji imaju istu duljinu i smjer, ali suprotnu orijentaciju nazovamo suprotnim.

3.7. Vektor kojemu se podudaraju pocetna i zavrsna tocka nazivamo nulvektor i oznacavamo s 0.

4. Zbrajanje vektora

4.1. PRAVILO PARALELOGRAMA-zbroj dvaju vektora OA i OB s istom početnom točkom O je vektor OC takav da je OC dijagonala paralelograma OACB. -OC=OA+OB

4.2. PRAVILO TROKUTA- vektori a i b su ULANČANI ako se završetak prvog podudara s početkom drugog. -zbroj dvaju ulančanih vektora AB i BC je vektro AC

4.3. KOMUTATIVNO ZBRAJANJE VEKTORA- za bilo koja dva vektora a i b vrijedi: a+b=b+a

5. Oduzimanje vektora

5.1. Razlika vektora definira se kao zbroj sa suprotnim vektorom: a-b=a+(-b)

5.2. Razlika a-b vektor a i b određuje se tako da se izaberu vektori jednaki početcima, a da imaju zjednički početak. Tada je razlika vektora koji spaja završetak drugog sa završetkom prvog vektora.

6. Množenje vektora skalarom

6.1. SKALAR-realni broj

6.2. Vektora a množi se skalarom α tko da se dobije vektor aα sa svojstvima: 1.duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti skalara i duljine vektora --> |αa|=|α|*|a| 2. smejr mu je jednak smejru vektora a 3. orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora a ako je α>0, a suprotna orjentaciji vektora a ako je α<0.

6.3. KRITERIJ KOLINEARNOSTI- vektori a1 i a2 (a2 ≠0) kolinearni su ako i samo ako postoji skalar k takav da vrijedi: a1=ka2

7. Linearna nezavisnost vektora

7.1. Dva su vektora a1 i a2 LINEARNO NEZAVISNA ako iz jednakosti α1a1+α2a2 slijedi α1=α2=0 -u suprotnom slučaju a1 i a2 su LINEARNO ZAVISNI

7.2. Dva su vektora kolinearna ako i samo ako u linearno zavisna

8. Vektori u Kartezijevu koordinatnom sustavu

8.1. Dva su istaknuta vektora: i --> jedinični vektor na osi apscisa j --> jedinični vektor na osi ordinata par vektora (i,j) čine BAZU KARTEZIJEVA PRAVOKUTNOG SUSTAVA

8.2. Realne brojeve x,y nazivamo KOORDINATE VEKTORA

8.3. Vektor AB s početkom u točki A(x1,y1) i završetkom u točki B(x2,y2) ima prikaz: AB=(x2-x1)i+(y2-y1)j

8.4. Vektor |a|=√ax2(na kvadrat)+ay2(na kvadrat)

9. Skalarni umnožak

9.1. Skalarni umnožak vektora a i b je realni broj vektora a*b definiran s: a*b=|a|*|b|cosφ , gdje jeφ kut između vektora a i b

9.2. Skalarni umnožak vektora sa samim sobom jednak je kvadratu duljine vektor: a*a=|a|2 (na kvadrt)

9.3. SVOJSTVA SKALARNOG UMNOŠKA 1. pozitivnosti 2. komunativnosti 3. homogenosti 4. distributivnosti

9.4. SKALARNI UMNOŽAK U KOORDINATNOM SUSTAVU Sklarani umnožak vektora a=axi+ayj i b=bxi+byj računa se formulom: a*b=axbx+ayby

9.5. KUT IZMEĐU VEKTORA cosφ = axbx + yby ----- ------------------------------------------ √ax (na kvadat) +ay(nakvadrat) * √bx(na kvadrt)+ by (na kvadrat)