1. Fungsi Naik, Turun dan Nilai Stasioner
1.1. Pengertian
1.1.1. Misal diberi Fungsi Y = F(x)
1.1.1.1. Jika setiap x pada suatu interval F'(x) > 0, Maka F(x) NAIK pada interval tersebut (condong ke kanan / positif)
1.1.1.2. Jika setiap x pada suatu interval F'(x) > 0, Maka F(x) TURUN pada interval tersebut (condong ke kiri / negatif)
1.1.1.3. Jika setiap x pada suatu interval F'(x) = 0, Maka F(x) TETAP pada interval tersebut (Nol / 0)
1.2. Jenis-Jenis Nilai Stasioner
1.2.1. Misalkan X = A
1.2.1.1. Jika nilai X < A, F(x) Turun dan X > A menyebabkan F(x) Naik maka [a, f(a)] adalah TITIK BALIK MINIMUM
1.2.1.2. Jika nilai X < A, F(x) Naik dan X > A menyebabkan F(x) Turun maka [a, f(a)] adalah TITIK BALIK MAKSIMUM
1.2.1.3. Jika nilai X < A, F(x) Turun dan X > A menyebabkan F(x) Turun maka F(x) [a,f(a)] adalah TITIK BELOK NEGATIF
1.2.1.4. Jika nilai X < A, F(x) Naik dan X > A menyebabkan F(x) Naik maka F(x) [a,f(a)] adalah TITIK BELOK POSITIF
1.3. Turunan Kedua dan Penggunaannya
1.3.1. Menentukan Jenis-Jenis Nilai Stasioner
1.3.1.1. Jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0 maka [a,f(a)] adalah TITIK BALIK MINIMUM
1.3.1.2. Jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0 maka [a,f(a)] adalah TITIK BALIK MAKSIMUM
1.3.1.3. Jika F'(a) = 0 dan F''(a) bergantian tanda [(+) ke (-) atau sebaliknya] maka [a.f(a)] adalah TITIK BELOK HORIZONTAL
1.3.2. Uji Turunan Kedua untuk Kecekungan
1.3.2.1. Jika F''(x) > 0 maka fungsi F cekung ke atas pada I
1.3.2.2. Jika F''(x) < 0 maka fungsi F cekung ke bawah pada I
1.3.3. Uji Turunan Kedua untuk Titik Belok
1.3.3.1. Jika F''(a) = 0 dan di sekitar x = a terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f maka [a,f(a)] adalah titik belok fungsi F
1.3.4. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi dalam Interval Tertutup
1.3.4.1. Nilai maksimum dan minimum fungsi Y = F(x) dalam interval tertutup a < x < b ditentukan :
1.3.4.1.1. Tentukan nilai stasioner (maksimum dan minimum) fungsi F(x) dalam interval itu
1.3.4.1.2. Tentukan nilai F(a) dan F(b)
1.3.4.1.3. Nilai terbesar dari nilai-nilai itu merupakan nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil merupakan nilai minimum
2. Menggambar Grafik Fungsi
2.1. Langkah menggambar suatu fungsi f(x)
2.1.1. Menentukan titik potong f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y)
2.1.2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya
2.1.3. Menentukan titik-titilk sembarang dalam fungsi untuk memperhalus grafik
3. Aplikasi Turunan
3.1. Menentukan Persamaan Gaaris Singgung ( Garis Tangen) dan Garis Normal Kurva
3.1.1. m = F'(a)
3.1.1.1. Y - B = F'(a)(X - A)
3.1.2. m = - 1/F'(a)
3.1.2.1. Y - B = - 1/F'(a)(X - A)
3.2. Taksiran Nilai Melalui Gradien Garis Singgung
3.2.1. F(X + segitiga X) ≈ F(x) + F'(x) x segitga X
3.3. Aplikasi Turunan dalam Perhitungan Kecepatan dan Percepatan
3.3.1. Kecepatan rata-rata = perubahan jarak / perubahan waktu = segitiga S / segitiga T
3.3.2. V(t) = Lim segitiga t -> 0 segitiga S / segitiga T = ds/dt
3.3.3. A(t) = Lim segitiga t -> 0 segitiga V / segitiga T = dv/dt
3.3.4. A(t) = dv/dt = d/dt (ds/dt) = d^2s / dt^2
3.4. Aplikasi Turunan untuk Menentukan Kasus Maksimum atau Minimum
3.4.1. Kasusnya diubah ke model matematika dan diselesaikan model tersebut
4. Turunan Fungsi dan Tinjauan Geometrinya
4.1. Pengertian Turunan Fungsi
4.1.1. Rumus
4.1.1.1. dy/dx = f(x) = lim [h --> 0] f(x+h) - f(x) / h
4.2. Turunan Ditinjau dari Sudut Pandang Geometri
4.2.1. Rumus
4.2.1.1. f(a) = lim [h --> 0] f(a+h) - f(a) / h
5. Turunan Fungsi Aljabar
5.1. (x+y)^n = C0^n X^n + C1^n X^n-1 Y + C2^n X^n-2 Y^2 + ... + C^n nY^n
5.2. Rumus
5.2.1. Jika f(x) = c makan turunannya adalah f' (x) = 0
5.2.2. Jika f(x) = x^n makan turunannya adalah f' (x) = NX^n-1
5.2.3. Jika f(x) = ax^n maka turunannya adalah f' (x) = ANX^n-1
6. Sifat-Sifat Turunan Suatu Fungsi
6.1. f(x) = C U(x), turunannya adalah f(x) = C U'(x)
6.2. f(x) = U(x) +/- V(x), turunannya adalah f'(x) = U'(x) +/- V'(x)
6.3. f(x) = U(x) V(x), turunannya adalah f'(x) = U'(x) V(x) + U(x) V'(x)
6.4. f(x) = U(x) / V(x) ; V(x) bukan 0, turunannya f'(x) = U'(x) V(x) - U(x) V'(x) / [V(x)]^2
6.5. f(x) = [U(x)]^n , turunannya f'(x) = N [U(x)]^n-1 U'(x)
7. Menentukan Turunan dengan Aturan Rantai
7.1. dy/dx = dy/du x du/dv x du/dx
8. Turunan Fungsi (Pengayaan)
8.1. Implisit
8.1.1. Rumus Dalil Rantai
8.1.1.1. dy/dx = dy/du x du/dv x du/dx
8.2. Eksponen (Y = e^x)
8.2.1. Rumus
8.2.1.1. Jika Y = E^x maka Y' = E^x
8.2.1.2. Jika Y = E^ax+b maka Y' = AE^ax+b
8.3. Turunan Logaritma Natural (In x)
8.3.1. Rumus
8.3.1.1. In X = Y <=> X =E^y
8.3.1.2. Jika Y = In X maka dy/dx = 1/x
8.3.1.3. Jika Y = In U dengan U = f(x) maka Y' = U'/U