Matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser números, funções ou elementos de qualquer n...

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Matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser números, funções ou elementos de qualquer natureza. by Mind Map: Matriz é um quadro retangular de dados, que podem ser números, funções ou elementos de qualquer natureza.

1. Elemento

1.1. O elemento de uma matriz posicionada na linha de ordem i e na coluna de ordem j é representado por uma letra minúscula com os subíndices i e j nesta ordem aij, bij.

2. Ordem

2.1. Se uma matriz A possui m linhas e n colunas dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos que a ordem de A é mxn.

3. Matriz de uma só fila

3.1. Uma matriz pode possuir uma só linha e uma só coluna.

3.2. Matriz linha é aquela que possui apenas uma linha, ou seja, toda matriz Amxn com m=1 é denominada matriz linha.

3.3. Matriz coluna é toda matriz que possui apenas uma coluna é denominada matriz coluna.

4. Matriz quadrada

4.1. Diremos que uma matriz Amxn é quadrada quando m=n, ou seja, quando o número de linhas da matriz A for igual ao número de colunas de A.

4.2. Matriz quadrada possui duas diagonais: a diagonal principal e a secundária.

4.2.1. Diagonal principal é constituída pelos elementos a11, a22, a33 ... A propriedade que caracteriza um elemento aij da diagonal principal é a relação i=j.

4.2.2. Diagonal secundária de uma matriz quadrada é formada pelos elementos a1n, a2n, a3n...

5. Matriz diagonal

5.1. Matriz triangular superior

5.1.1. É uma matriz quadrada na qual os elementos situados abaixo da diagonal principal são todos nulo.

5.1.2. Uma matriz quadrada A(aij) é denominada matriz triangular inferior quando os elementos situados acima da diagonal principal são todos nulos.

5.2. Uma matriz quadrada Anxn=(aij) é denominada matriz diagonal quando aij=0, para todo i diferente de j.

5.3. Numa matriz diagonal apenas os elementos da diagonal principal podem ser diferentes de zero.

5.4. Uma matriz diagonal na qual os elementos da diagonal principal são todos iguais recebe o nome matriz escalar.

5.5. A matriz identidade de ordem n é a matriz diagonal de ordem n no qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, isto é, aijj=0 para todo i diferente de j e aij=1 para todo i onde i,j pertencem {1,2,3,.... n}. A matriz identidade é então uma matriz escalar cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

6. Matriz nula

6.1. Uma matriz A=(aij)mxn é denominado matriz nula ou matriz zero quando aij=0 para quaisquer i e j.

7. Igualdade de matrizes

7.1. Diremos que duas matrizes são iguais quando elas possuírem a mesma ordem e, além disso, valer a igualdade aij=bij para quaisquer i e j.

8. Operações de matrizes

8.1. Na adição de matrizes elas devem ser de mesma ordem pois se caso não forem não podem ser somadas.

8.1.1. Propriedades de adição de matrizes: Associativa: A+(B+C)=(A+B)+C Elemento neutro: A+0=0+A=A Elemento Simétrico: A+(-A)=(-A)+A=0 Comutativa: A+B=B+A

8.1.1.1. Produtos de matrizes: Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)pxq, cada da matriz produto, A.B será a soma dos produtos dos elementos de uma linha de A pelos elementos correspondentes de uma coluna de B. Para que isso seja possível, vemos imediatamente que cada linha de A deve ter o mesmo número de elementos de cada coluna B.

8.1.1.1.1. Propriedades do produto de matrizes: Sejam A, B e C matrizes com ordens para as quais as operações abaixo estejam definidas e seja um número real então valem as propriedades.

9. Transposta de uma matriz (Matriz espelhada)

9.1. A transposta de uma matriz A é a matriz At cujas linhas são as colunas da matriz A, escritas na mesma ordem. Equivalente, as colunas de At são as linhas de A escritas na mesma ordem.

10. Matriz simétrica

10.1. Uma matriz quadrada é dita simétrica quando os elementos que ocupam posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais.

11. Matriz anti-simétrica

11.1. Uma matriz quadrada é dita anti-simétrica quando os elementos que ocupam posições simétricas em relação a diagonal principal são simétricas.

12. Determinante de uma matriz

12.1. Inversões de uma permutação: Diremos que dois elementos quaisquer, ai e aj, de uma permutação sofrem uma inversão quando a ordem na qual ai e aj aparecem nesta permutação for diferente da ordem na qual estes elementos aparecem na permutação principal.

12.1.1. Permutação pares e ímpares:Uma permutação que apresenta um número par de inversões em relação à permutação principal é chamada permutação par e aquela que apresenta um número ímpar de inversões em relação a permutação principal, é chamada permutação ímpar.

12.2. Cálculo do determinante: O determinante de uma matriz quadrada é a soma dos produtos obtidos, permutando-se os segundos índices dos elementos do termo principal, mantidos fixos seus primeiros índices, e fazendo cada produto cuja permutação dos segundo índices seja por, ser precedido do sinal +, e cada produto cuja permutação dos segundos índices for ímpar ser precedido do sinal -.

12.2.1. Para calcular o determinante da matriz, basta executarmos todas as combinações possíveis, lembrando que ao escolher um elemento, não pode escolher outro elemento presente nesta mesma linha ou coluna.

12.3. Regra de sarrus: usado para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3.

12.3.1. Método la place: usado para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem.

12.3.1.1. Menor complementar de um elemento de uma matriz é determinante dela, eliminando a linha e a coluna a que pertencer este elemento.

12.4. Propriedades dos determinantes:

12.4.1. 1- Se uma matriz A possui uma linha (ou coluna) nula, então det A=0

12.4.1.1. 2- Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A=0

12.4.1.1.1. 3-Se uma matriz B é obtida a partir de uma matriz A multiplicando-se uma das linhas (ou colunas) de A por uma constante k, então det B=K. det A

12.4.1.2. 4- Se uma matriz A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A=0

12.4.1.2.1. 5- O determinante de uma matriz não se altera quando se trocam ordenadamente suas linhas por suas colunas. Em outras palavras, det A= det At

12.4.1.3. 6- Escrevendo uma linha (ou coluna) de uma matriz A como uma soma de duas parcelas então o determinante de A pode ser obtido através da soma das determinantes das duas matrizes obtidas de A pela substituição daquela linha (ou coluna) pela primeira e pela segunda parcela respectivamente.

12.4.1.3.1. 7- Se A é uma matriz triangular superior ou triangular inferior então seu determinante é igual ao produto dos elementos do termo principal.

12.4.1.4. 9- Se B é uma matriz obtida substituindo os elementos de uma linha (ou coluna) de A pela soma de seus elementos com os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) de A multiplicados por uma constante, então det B= det A

12.4.1.4.1. 10- Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então temos det (A.B)= det A . det B