1. počet řešení soustavy kvadratické a lineární rovnice
1.1. Soustava má právě dvě řešení, pokud vyjde kladný diskriminant.
1.2. Soustava nemá řešení, pokdu vyjde záporný diskriminant.
2. Soustava má právě jedno řešení, pokud je diskriminant nulový nebo pokud se z kvadratické rovnice po dosazení stane rovnice lineární.
3. 2x² - 6x + 5 > 0 Dosadím libovolné číslo, např. x = 0 2·0² - 6·0 + 5 > 0 5 > 0 K = R
3.1. x² + 3 < 0 Dosadím libovolnou hodnotu, např. x = 0 0² + 3 < 0 3 < 0 K = ∅
4. Dosadíme nějaké číslo z daného intervalu a zjistíme, zda je daný interval pro nerovnici kladný, nebo záporný.
5. x² + y² = 2 x - y = 0 ⇒ x= y --------------- y² + y² = 2 2y² - 2 = 0 y² - 1 = 0 (y + 1)(y - 1) = 0 y1 = - 1 x1 = - 1 y2 = 1 x2 = 1 K = {[- 1; - 1]; [1; 1]}
6. platí vztahy x1 + x2 = - (b / a) a x1x2 = c / a
7. 2x² - 7x + 3 ≤ 0 D = (- 7)² - 4·2·3 = 49 - 24 = 25 x1 = [- (- 7) + √25] / 2·2 = (7 + 5) / 4 = 3 x2 = [- (- 7) - √25] / 2·2 = (7 - 5) / 4 = 0,5 2 (x - 0,5)(x - 3) ≤ 0 ----------------------I----------------I---------------- + 0,5 - 3 + K = ⟨0,5; 3⟩
8. rovnice
8.1. kvadratická rovnice bez absolutního členu
8.1.1. ax² + bx = 0
8.1.2. postup řešení
8.1.2.1. Levou stranu rovnice převedeme na součinový tvar vytknutím neznámé nebo součinu čísla před závorku.
8.1.2.2. Součin se rovná nule, pokud se rovná nule alespoň jeden z činitelů. Řešíme tedy dvě dílčí rovnice.
8.1.2.3. Řešením původní rovnice je sjednocení obou dílčích rovnic
8.1.3. příklad
8.1.3.1. 2x² + 6x = 0 2x (x + 3) = 0 K = {-3; 0}
8.2. ryze kvadratická rovnice
8.2.1. ax² + c = 0
8.2.2. postup řešení
8.2.2.1. Obě strany vydělíme koeficientem neznámé.
8.2.2.2. Levou stranu rovnice upravíme podle vzorce a² - b² = (a + b)(a - b) na součinový tvar.
8.2.2.3. Řešením jsou nulové body vzniklých závorek.
8.2.3. příklad
8.2.3.1. 3x² - 27 = 0 x² - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0 K = {-3; 3}
8.2.3.2. x² + 5 = 0 K = ∅
8.3. obecná kvadratická rovnice
8.3.1. ax² + bx + c = 0
8.3.2. postup řešení
8.3.2.1. rozklad na součin
8.3.2.1.1. postup řešení
8.3.2.1.2. příklad
8.3.2.2. diskriminant
8.3.2.2.1. postup řešení
8.3.2.2.2. 5x² - x + 2 = 0 D = (- 1)² - 4·5·2 = - 39 K = ∅
8.3.2.2.3. příklad
8.3.2.3. substituce
8.3.2.3.1. postup řešení
8.3.2.3.2. příklad
9. nerovnice
9.1. ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≥ 0
9.2. nerovnice rozložitelné na součin
9.2.1. postup řešení
9.2.1.1. Kvadratický výraz na levé straně nerovnice rozložíme na součin jedním z možných způsobů.
9.2.1.1.1. Pomocí diskriminantu. Nejprve nalezneme kořeny x1 a x2 příslušné kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0. Výraz pak rozložíme na tvar a (x-x1)(x-x2).
9.2.1.1.2. Pomocí Viètových vztahů.
9.2.1.1.3. Pomocí vzorce pro rozdíl mocnin nebo vzorců pro mocninu dvojčlenu.
9.2.1.1.4. Vznikne nám nerovnice v součinovém tvaru, kterou vyřešíme.
9.2.2. příklad
9.2.2.1. Řešením nerovnice jsou všechna čísla z oboru neznámé.
9.2.2.2. Zapíšeme množinu kořenů.
9.3. nerovnice nerozložitelné na součin
9.3.1. postup řešení
9.3.1.1. Mohou nastat dvě možnosti.
9.3.1.1.1. Nerovnice nemá v množině R řešení.
9.3.1.2. O tom, která z možností nastane, se přesvědčíme pomocí dosazení libovolného čísla z oboru neznámé.
9.3.2. příklad
10. soustava kvadratické a lineární rovnice
10.1. postup řešení
10.1.1. Z lineární rovnice vyjádříme jednu (libovolnou) neznámou.
10.1.2. Získaný výraz dosadíme do kvadratické rovnice.
10.1.3. Touto úpravou získáme kvadratickou rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme.
10.1.4. Ke každé nalezené hodnotě první neznámé dopočítáme příslušnou hodnotu druhé neznámé.
10.1.5. Zapíšeme řešení, které je vždy ve tvaru uspořádaných dvojic.