Get Started. It's Free
or sign up with your email address
TOÁN CAO CẤP by Mind Map: TOÁN CAO CẤP

1. ĐỊNH THỨC

1.1. KÍ HIỆU : |A|, A thuộc Mn (R); det(A)=

1.1.1. a nếu n=1 ; A=[a]

1.1.2. an1An1+an2An2+...+annAnn nếu n>=1

1.2. CÁC TÍNH CHẤT

1.2.1. 1. det(A)=det(A^(t))

1.2.2. 2. det(AB)=det(A)det(B) với mọi ma trận A,B vuông cùng cấp

1.2.3. 3. det(αA)=α^ndet(A).

1.2.4. 4. Nếu có một dòng (hoặc một cột) bằng 0 thì định thức bằng 0

1.2.5. 5. Nếu có 2 dòng (hoặc 2 cột) giống nhau hay tỉ lệ với nhau thì định thức bằng 0

1.2.6. 6. Định thức của ma trận tam giác hay ma trận chéo bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính

1.2.7. 7. Nếu đổi chỗ 2 dòng (hoặc 2 cột) bất kì thì định thức đổi dấu

1.2.8. 8. Nếu nhân một dòng (hoặc một cột) bất kì với một số thì định thức cũng được nhân với số đó. Nói cách khác, nhân tử chung của một dòng (hoặc một cột) có thể đem ra ngoài dấu định thức.

1.2.9. 9. Định thức không tháy đổi khi thêm hoặc bớt vào một dòng (hoặc một cột) một bội của một dòng (hay cột) khác.

1.2.10. 10. Công thức Laplace khai triển định thức theo dòng hay cột bất kì : Nếu phát hiện thấy định thức có một dòng hay một cột nào đó chứa nhiều số 0 thì nên khai triển định thức theo dòng đó.

1.3. ĐỊNH THỨC QUA PHÉP BĐSC

1.3.1. A (di<->dj) A' => |A'|=-|A|

1.3.2. A (di=αdi) A' => |A'|=α|A|

1.3.3. A (di=di+αdj) A' => |A'|=|A|

1.3.4. A (di=αdi+βdj) A' => |A'|=α|A|

2. MA TRẬN

2.1. CÁC LOẠI MA TRẬN

2.1.1. MA TRẬN DÒNG (HÀNG) CẤP M

2.1.1.1. Ma trận cấp 1xM - tức là chỉ có một dòng duy nhất gồm M phần tử (M nguyên dương)

2.1.2. MA TRẬN CỘT CẤP N

2.1.2.1. Ma trận cấp Nx1 - tức là chỉ có một cột duy nhất gồm N phần tử (N nguyên dương)

2.1.3. MA TRẬN KHÔNG

2.1.3.1. Là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0

2.1.3.1.1. Ma trận không cấp mxn kí hiệu là Omxn

2.1.3.1.2. Ma trận không (vuông) cấp n kí hiệu là On

2.1.3.1.3. Khi cấp đã được chỉ rõ không sợ nhầm lẫn ta có thể kì hiệu là O

2.1.4. MA TRẬN VUÔNG

2.1.4.1. Là ma trận có số dòng m bằng số cột n (m=n là số tự nhiên dương). Khi đó, thay vì nói ma trận cấp nxn ta sẽ nói ma trận vuông cấp n

2.1.5. MA TRẬN TAM GIÁC

2.1.5.1. MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

2.1.5.1.1. Là ma trận tam giác vuông mà tất cả các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0

2.1.5.2. MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

2.1.5.2.1. Là ma trận tam giác vuông mà tất cả các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0

2.1.6. MA TRẬN CHÉO

2.1.6.1. Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử không thuộc đường chéo chính đều bằng 0

2.1.7. MA TRẬN ĐỐI XỨNG

2.1.7.1. Là ma trận vuông có các phần tử giống nhau đối xứng qua đường chéo chính

2.1.8. MA TRẬN ĐƠN VỊ

2.1.8.1. Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính dều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0. KH : In

2.1.9. MỘT SỐ LOẠI MA TRẬN KHÁC

2.1.9.1. Ma trận phản xứng, Ma trận xác định, Ma trận trực giao...

2.2. CÁC PHÉP TOÁN

2.2.1. CHUYỂN VỊ

2.2.1.1. Ma trận A tùy ý, ma trận chuyển vị của A thu được bằng cách lần lượt viết các dòng của A thành các cột. KH : A^T hoặc At

2.2.2. CỘNG/TRỪ MA TRẬN

2.2.2.1. Cộng hai ma trận cùng cấp bằng cách cộng/trừ các phần tử tương ứng của chúng

2.2.3. NHÂN SỐ VỚI MA TRẬN

2.2.3.1. Nhân số đó lần lượt với tất cả các phần tử của ma trận

2.2.4. NHÂN MA TRẬN

2.2.4.1. Điều kiện : số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai

2.2.4.2. Thuật toán : muốn tìm phần tử ở dòng i cột j của ma trận tích AB, ta nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j ở ma trận B rồi cộng các kết quả lại

2.2.4.3. Chú ý : AB # BA

2.2.5. LŨY THỪA MỘT MA TRẬN

2.2.5.1. Ma trận vuông, ta có phép toán lũy thừa bậc n là tích của n ma trận đó : A^n=A.A.A....A (n ma trận A)

2.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

2.3.1. Đổi chỗ hai dòng cho nhau : di <-> dj

2.3.2. Nhân một dòng với một số khác không : di <-> adi (a#0)

2.3.3. Thêm (bớt) vào một dòng một tích của một số của một dòng khác : di <-> di + adj (a tùy ý)

2.4. CÁC TÍNH CHẤT

2.4.1. 1. A+B=B+A

2.4.2. 2. A+0=0+A=A

2.4.3. 3. A+(-A)=0

2.4.4. 4. (A+B)+C=A+(B+C)

2.4.5. 5. (AB)C=A(BC)

2.4.6. 6. 1.A=A ; I.A=A.I=A

2.4.7. 7. (ab)A=a(bA)

2.4.8. 8. (a+b)A=aA+bA ; a(A+B)=aA+aB

2.4.9. 9. (A+B)C=AC+BC ; A(B+C)=AB+AC

2.4.10. 10. (A+B)t=At+Bt ; (AB)t=BtAt

2.5. MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

2.5.1. Tìm ma trận nghịch đảo bằng thuật toán dùng phép BĐSC

2.5.1.1. Xét ma trận [A|I] BĐSC thành [I|A']. Vậy A' là ma trận nghịch đảo của A

2.5.2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng thuật toán dùng Định Thức

2.5.2.1. Bước 1 : Tính det(A)=D

2.5.2.1.1. D=0 thì ma trận A không khả nghịch

2.5.2.1.2. D#0 thì ma trận A khả nghịch

2.5.2.2. Bước 2 : Tìm ma trận phụ hợp PA=[Aij]n rồi chuyển vị PAt

2.5.2.3. Bước 3 : Xét ma trận nghịch đảo : 1/DxPAt

2.5.3. KH : A^(-1)

2.6. HẠNG CỦA MA TRẬN

2.6.1. Cho ma trận A. Nếu A=0 thì hạng của A bằng 0. Nếu A khác 0 thì hạng của A chính là số dòng khác 0 của mỗi dạng bậc thang của A.

2.6.2. Cách tìm hạng của ma trận khác không : đưa về dạng bậc thang bằng các phép BĐSC sau đó đếm số dòng khác không của dạng bậc thang đó ta được hạng của ma trận.

2.6.3. Chú ý

2.6.3.1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép BĐSC

2.6.3.2. Ma trận A là ma trận cấp mxn (m,n là các số nguyên dương) thì r(A) là số tự nhiên không vượt qua số bé nhất trong hai số m,n. Tức là : 0=<r(A)<=min(m,n)

3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

4. KHÔNG GIAN VECTOR

5. TRỊ RIÊNG - VECTOR RIÊNG