Math For Physics
by Pichayaphak Naruetook
1. Vector Representation สัญลักษณ์ของเวคเตอร์ คือ ลูกศร เพื่อบอกทิศทาง เวคเตอร์ที่เท่ากันต้องมีขนาดและทิศทางเดียวกันเสมอ
1.1. Vector Addition คือ การต่อเวคเตอร์เพิ่มเข้าไป โดยการต่อมี 2 แบบ คือ ต่อแบบหางต่อหาง,ต่อแบบห่างต่อหัว
1.2. Vector Subtraction คือ การลบเวคเตอร์ออก โดยการนำเวคเตอร์ที่ต้องการลบออกกลับทิศทางเป็นทิศตรงกันข้ามกับตอนแรก
2. Coordinate System เรียกอีกอย่างว่า ระบบพิกัด คือ ระบบที่สร้างขึ้นสำหรับใช้อ้างอิงในการกำหนดตำแหน่ง บนแกนอ้างอิง x,y,z และใช้สำหรับบอกทิศทางเวคเตอร์ เป็นแกนสามมิติ
2.1. ประกอบไปด้วยพื้นฐาน 4 อย่าง : 1. Choice of origin 2. Choice of axes 3. Choice of positive direction for each axis 4. Choice of unit vectors for each axis
3. Scalar and Vector สเกลาร์ คือ ตัวเลขของขนาด ไม่มีทิศทาง เวคเตอร์ คือ ตัวเลขที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง
4. Vector Multiplication : The Dot Product (scalar) , The Cross Product (vector)
4.1. Dot Product : คำตอบของการดอท คือ สเกลาร์ W = F.S
4.2. A.B = ac + bd ซึ่งมาจาก (ai^+bj^)(ci^+dj^) แต่ไม่เขียนทิศทางกำกับ เพราะ เป็นปริมาณสเกลาร์, A.B = lAllBlcosθ
4.3. ค่าของทิศทางหลังจากคูณแล้ว : i^.i^ = 1 , j^.j^ = 1 , k^.k^ = 1, ทิศที่ไม่เหมือนกัน คูณกันได้ 0 เช่น i^.j^ = 0
4.4. Cross Product : คำตอบของการครอส คือ เวคเตอร์ W = FScosθ
4.5. A = Axi^ + Ayj^ + Azk^ , B = Bxi^ + Byj^ + Bzk^ เมื่อเอาไปวิธีการคำนวณแล้วจะได้ (AyBz-AzBy)i^ + (AzBx-AxBz)j^ + (AxBy-AyBz)k^ , AB = lAllBlsinθ
4.6. วิธีการคำนวณ คือ เอาแกนมาเรียงกันเป็นแถว จากนั้นใส่ตัวเลขให้ตรงกับแกน เมื่อใครครบทั้ง 3 แกนแล้ว ให้เขียนหลักที่ 1,2 ซ้ำอีกครั้ง แล้วลากเส้นกำกับการคูณ โดยเริ่มลากที่แกนก่อน ลากลงเป็นเครื่องหมาย + ลากขึ้นเป็นเครื่องหมาย -
4.7. การคำนวณทิศทาง : i^.i^ = j^.j^ = k^.k^ = 0 , i^.j^ = k^ แต่ j^.i^ = -k^ หากคูณแบบเรียงทิศ จะได้คำตอบเป็นทิศอีกอันที่ไม่ได้อยู่ในการคูณ แต่ถ้าไม่เรียงจะติดลบ
5. สูตรการเปลี่ยนคู่อันดับของ Cartesian และ Polar เปลี่ยนจาก Cartesian เป็น Polar : x = rcosθ,y = rsinθ เปลี่ยนจาก Polar เป็น Cartesian : r2 = x2 + y2, tanθยกกำลัง-1= (ylx)
6. Rectangular or Cartesian coordinate System คือ ระบบที่ใช้กำหนดตำแหน่งของจุดแต่ละจุดบนระนาบโดยอ้างอิงถึง พิกัด x และพิกัด y และมีเส้นแกน 2 เส้นตัดกันเป็นมุมฉากที่สุดกำเนิด แสดงอยู่ในรูปคู่อันดับ (x,y)
7. Polar coordinate System เรียกอีกอย่างว่า ระบบพิกัดเชิงขั้ว คือ ระบบที่ใช้กำหนดตำแหน่งของจุดโดยอ้างอิงจากมุมและระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง เขียนในรูปคู่อันดับ (r,θ)
8. Trigonometry System หรือเรียกอีกอย่างว่า ตรีโกณมิติ เป็นพื้นฐานของ unit circle ที่วงกลมนั้นมี r = 1 โดยคู่นดับแต่ละคู่ (x,y) บน unit circle สมารถวัดมุ
8.1. 1. degree measure คือ เขียนองศาเป็นตัวเลข เช่น 90° 2. radian measure คือ การเขียนองศาในรูปแบบของ π ซึ่ง π มีค่าเท่ากับ 180° เช่น ถ้าเราจะเขียน 90° ในรูปของ radian จะเขียนได้ πl2
8.2. Graphing Trigonometric Functions กราฟของ sin จะเปลี่ยนพิกัดตั้งแต่ x = 0 ถึง x = 2π ซึ่งมีค่าสูงสุดที่ (πl2,1) กราฟของ cos มีค่าสูงสุดที่ (0,1)
8.2.1. กราฟของ sin เริ่มที่ 0° กราฟของ cos เริ่มที่ 90°
8.3. การเขียนกราฟพื้นฐานของ function sine และ cosine : มี 5 จุดสำคัญ คือ จุดตัดแกน x จุดสูงสุด จุดต่ำสุด แล้วเขียนเส้นโค้งผ่านจุดต่าง ๆ
8.3.1. Unit Vector : A = AllAl
9. การหาเวคเตอร์โดยการคำนวณ กรณีที่ 1 เวคเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ทิศเดียวกัน R = A + B กรณีที่ 2 เวคเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน แต่คนละทิศ R = A - B กรณีที่ 3 เวคเตอร์ทำมุม 90° ใช้พีทาโกรัส กรณีที่ 4 เวคเตอร์ 2 อัน ทำมุม θ ใดๆ ใช้สูตร R = รูทของ Aกำลัง2 + Bกำลัง2 + 2ABcosθ
9.1. Vector equivalence : A = ai^ + bj^ and B = ci^ + dj^ and A = B when a = c , b = d
9.2. Vector Component คือ การแตกแรงเข้าแกน x และ y ของเวคเตอร์ที่ทำมุมไม่อยู่ในแกนใด ๆ ของการคำนวณเวคเตอร์เลย เขียนสมการการแตกแรงได้ว่า Ax = Acosθ , Ay = Asinθ มีสูตรการหาอีก คือ A = รูทของ Axกำลัง2 + Ayกำลัง2 และ tanθ = AylAx
9.3. Finding the Magnitude and Direction มีสูตร 3 สูตร คือ r = รูทของ rxกำลัง2 + ryกำลัง2 , tanθ = (rylrx) , tanθยกกำลัง-1= (rylrx)
9.4. Resultant Vector คือ การคำนวณหาเวคเตอร์ที่ทำมุม θ ใด ๆ สูตร คือ R = รูทของ Aกำลัง2 + Bกำลัง2 + 2ABcosθ
9.4.1. the length "y" y = sinθ the length "x" x = cosθ