1. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
1.1. Góc - cạnh đối diện
1.1.1. Tính chất
1.1.1.1. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là gióc lớn hơn
1.1.1.2. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn
1.1.2. Dạng bài
1.1.2.1. So sánh hai góc trong một tam giác
1.1.2.1.1. Cho tam giác ABC, AC > AC. So sánh góc B với góc C
1.1.2.2. So sánh hai cạnh trong một tam giác
1.1.2.2.1. Cho tam giác DEF, góc E lớn hơn góc F. So sánh DF với DE
1.2. Đường vuông góc - đường xiên
1.2.1. Tính chất
1.2.1.1. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
1.2.2. Dạng bài
1.2.2.1. So sánh đường vuông góc và đường xiên
1.2.2.1.1. Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. So sánh AH với AB, AC
1.3. Đường xiên - hình chiếu
1.3.1. Tính chất
1.3.1.1. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
1.3.2. Dạng bài
1.3.2.1. CM: Hai đường xiên hoặc hai hình chiếu bằng nhau
1.3.2.1.1. Cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc với trung điểm của cạnh BC. CMR: Tam giác ABC cân tại A
1.3.2.2. CM: Hai đường xiên hoặc hai hình chiếu không bằng nhau
1.3.2.2.1. Cho tam giác ABC, AB > AC, kẻ AH vuông góc với BC. So sánh BH và CH
1.4. Bất đẳng thức tam giác
1.4.1. Tính chất
1.4.1.1. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
1.4.1.2. Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
1.4.2. Dạng bài
1.4.2.1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác khi biết độ dài ba cạnh
1.4.2.1.1. Có tồn tại hay không một tam giác có độ dài ba cạnh là: 8m, 12m, 7m.
1.4.2.2. Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài
1.4.2.2.1. Cho ba điểm M, B, C bất kì. Tìm GTNN của BM + CM
1.4.2.3. Xác định khoảng giá trị của một cạnh của tam giác
1.4.2.3.1. Cho tam giác DEF: DE = 1m, DF = 3m, EF độ dài (tính bằng m) là một số tự nhiên. Tính độ dài EF
1.4.2.4. Chứng minh một bất đẳng thức về độ dài
1.4.2.4.1. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. BM giao AC tại I. CMR: MA + MB < CA + CB
2. CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
2.1. Đường trung tuyến
2.1.1. Khái niệm
2.1.1.1. Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện
2.1.1.2. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến
2.1.2. Tính chất
2.1.2.1. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
2.1.3. Dạng bài
2.1.3.1. Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến và vị trí của trọng tâm tam giác
2.1.3.1.1. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BI, CK bằng nhau. CMR: tam giác ABC cân
2.1.3.2. Đường trung tuyến đối với tam giác đặc biệt
2.1.3.2.1. CMR: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
2.2. Đường phân giác
2.2.1. Khái niệm
2.2.1.1. Trong tam giác, tia phân giác của góc cắt cạnh đối diện tại 1 điểm, khi đó đoạn thẳng ấy được gọi là đường phân giác của tam giác đó.
2.2.2. Tính chất
2.2.2.1. Của góc
2.2.2.1.1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh góc đó
2.2.2.1.2. Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó
2.2.2.2. Của tam giác
2.2.2.2.1. Ba đường phân giác của ta giác cùng đi qua một điểm (là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó). Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
2.2.3. Dạng bài
2.2.3.1. Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau
2.2.3.1.1. Cho tam giác ABC có I là giao điểm các tia phân giác của các góc B và C. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Kẻ IH vuông góc với BC (H thuộc BC). CMR: góc BIH bằng góc CID
2.2.3.2. Chứng minh tia phân giác của một góc
2.2.3.2.1. Cho góc xOy nhọn. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D: OA = OD, OB = OC. AD giao BC tại I. CMR: OI là tia phân giác góc xOy
2.2.3.3. Đường phân giác đối với các tam giác đặc biệt
2.2.3.3.1. Chứng minh định lí: Nếu tam giác một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
2.3. Đường trung trực
2.3.1. Khái niệm
2.3.1.1. Của đoạn thẳng
2.3.1.1.1. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng ấy
2.3.1.2. Của tam giác
2.3.1.2.1. Đường trung trực của tam giác là đường trung trực của mỗi cạnh trong tam giác đó
2.3.2. Tính chất
2.3.2.1. Của đoạn thẳng
2.3.2.1.1. Điểm cách đều 2 mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy
2.3.2.1.2. Điểm nằm trên đường trung trực của 1 đoạn thẳng thì cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó
2.3.2.2. Của tam giác
2.3.2.2.1. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác đó
2.3.2.2.2. Giao của ba đường trung trực trong ta giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó (đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó)
2.3.3. Dạng bài
2.3.3.1. Chứng minh thẳng hàng
2.3.3.1.1. Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh A, D, E thẳng hàng
2.3.3.2. Chứng minh hai đoạn thẳng, hai tam giác bằng nhau
2.3.3.2.1. Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh tam giác AMN bằng tam giác BMN
2.3.3.3. Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán về giá trị nhỏ nhất
2.3.3.3.1. Tam giác ABC có AB = 30cm, AC = 40cm. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D: AD = AB. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với BD. Gọi M là điểm bất kì thuộc đường thẳng d. Tìm GTNN của BM + MC
2.3.3.4. Đường trung trực đối với tam giác đặc biệt
2.3.3.4.1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là điểm nào?
2.4. Đường cao
2.4.1. Khái niệm
2.4.1.1. Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện
2.4.2. Tính chất
2.4.2.1. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua 1 điểm (gọi là trực tâm của tam giác)
2.4.2.2. Trong tam giác cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao
2.4.2.3. Nếu một tam giác có 2 trong 4 loai đường: trung tuyến, trung trực, phân giác, đường cao trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
2.4.3. Dạng bài
2.4.3.1. Chứng minh đường thẳng vuông góc
2.4.3.1.1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E: AE = AD. CMR: CD vuông góc với BE
2.4.3.2. Đường cao đối với các tam giác đặc biệt
2.4.3.2.1. Cho tam giác ABC, đường cao CE và BD bằng nhau. CMR: Tam giác ABC cân
2.4.3.3. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
2.4.3.3.1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Ở ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác ACE vuông cân tại C và tam giác ABD vuông cân tại B. Trên tia đối của tia AH,lấy điểm K: AK = BC. CMR: AH, BE, CD đồng quy