Logaritmos:

1. Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

2. Historia:

2.1. O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de simplificação de alguns cálculos matemáticos, principalmente por conta do desenvolvimento da Astronomia e da expansão do comércio causada pelas grandes navegações. Uma maior intensidade nesse desenvolvimento se deu entre os séculos XVI e XVII e os logaritmos surgiram como meios de cálculos, que transformavam complexas operações de multiplicação e divisão em simples operações de adição e subtração.

3. Invenção do Logaritmo:

3.1. O inventor dos logaritmos foi o escocês John Neper (1550-1617). Mais conhecido por Napier, ele não foi o único de sua época a apresentar desenvolvimentos no campo dos logaritmos, alguns outros matemáticos também apresentaram propostas idênticas à sua.

3.2. A proposta de Napier baseou-se numa propriedade já conhecida à época, a multiplicação de potências de mesma base: am . an = am+n, que em linguagem simples quer dizer que a multiplicação de duas potências de mesma base resulta em uma outra potência, formada pela conservação de uma das bases anteriores e elevada ao expoente que resulta da soma dos dois expoentes das potências anteriores.

4. John Napier:

4.1. John Neper (Napier) não foi um matemático profissional. Ele era dono de várias propriedades na Escócia, onde administrava os seus bens enquanto escrevia sobre vários assuntos. Prova da versatilidade dele foi à afirmação que ele fez no Livro das Revelações, dizendo que o papa em Roma era o anticristo. Não eram todos os temas da matemática que despertavam o interesse de Napier, especialmente os assuntos ligados à computação e a trigonometria lhes chamava atenção.

4.2. Segundo depoimentos do próprio Napier, até que os resultados de suas descobertas sobre os logaritmos fossem publicadas pela primeira vez passaram-se vinte anos, portanto, uma vida dedicada a este assunto. Este fato remete a origem das ideias logarítmicas de Napier ao ano de 1594. Movido por observações das sequências de potências sucessivas, publicadas cinquenta anos antes por Stifel e também nas obras de Arquimedes, ele deparou-se com a evidência de que as somas ou diferenças dos índices das potências eram na verdade produtos ou quocientes das potências dadas, mas com uma particularidade nas sequências de potências inteiras de mesma base, a exemplo do 2, que não poderia ser usada para computações, devido as imprecisões geradas por interpolações realizadas em grandes lacunas entre os termos sucessivos.

5. Aplicação:

6. 1º Exemplo – Matemática Financeira Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Resolução: Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível. Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C·(1 + i)t. De acordo com a situação-problema, temos: M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? M = C·(1 + i)t 3500 = 500·(1 + 0,035)t 3500/500 = 1,035t 1,035t = 7 Aplicando o logaritmo: log 1,035t = log 7 t·log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica) t·0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7 O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

6.1. 2º Exemplo – Geografia Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma? Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) População do ano-base = P0 População após um ano = P0·(1,03) = P1 População após dois anos = P0·(1,03)2= P2 População após x anos = P0·(1,03)x = Px Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos: Px = 2·P0 P0·(1,03)x = 2·P0 1,03x = 2 Aplicando logaritmo: log 1,03x = log 2 x·log 1,03 = log2 x·0,0128 = 0,3010 x = 0,3010 / 0,0128 x = 23,5 A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

7. Sabendo que 9 = 32, então podemos reescrever Log 9 = Log 32 = 2.Log 3 = x, portanto, Log 3 = x/2. Por outra lado percebe que 6 = 2.3, então, temos: Log 6 = Log (2.3) pela propriedade 3.1, podemos escrever: Log (2.3) = Log 2 + Log 3 Log(2.3) = Log 2 + x/2. Resposta: Log 6 = Log 2 + x/2

7.1. Propriedades dos Logaritmos 3.1 Logaritmo do produto. Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então loga(b.c) = loga b + loga c. 3.2- Logaritmo do quociente. Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então logab/c = loga b – loga c. 3.3- Logaritmo da potência. Se 0 < a ≠ 1, b > 0, então loga(bn) = n . logab Exemplo de aplicação: Se Log 9 = x, então Log 6 é:

8. Propriedades:

9. Solução:

10. Mudança de base:

10.1. Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usamos: Log a X= log b X, sobre, log b A OBS: Esse recurso é bastante útil para resoluções de várias questões referente a temática em questão.

11. Definiçao:

11.1. A ideia que concebeu o logarítmo é muito simples, ou seja, podemos associar o termo Logaritmo, como sendo uma denominação para expoente. Dessa forma definimos de formalmente logaritmos, da seguinte maneira: 'a' elevado a 'x'= b <----> Log a b, sendo b>0, a>0 e 'a' (igual ou diferente) a 1Destacamos os seguintes elementos:

11.2. a = Base do logaritmo;

11.3. b = logaritmando ou antilogaritmo

11.4. x = logaritmo

12. Exemplos:

12.1. 3º Exemplo – Química Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q0·e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. Q = Q0·e–rt 200 = 1000·e–0,02t 200/1000 = e–0,02t 1/5 = e–0,02t (aplicando definição) –0,02t = loge1/5 –0,02t = loge5–1 –0,02t = –loge5 –0,02t = –ln5 (–1) 0,02t = ln5 t = ln5 / 0,02 t = 1,6094 / 0,02 t = 80,47 A substância levará 80,47 anos para reduzir-se a 200 g.