1. Định nghĩa
1.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).
2. Định lí
2.1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
2.2. Chú ý: a) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. b) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Quy tắc xét tính đơn điệu
3.1. Bước 1: Tìm tập xác định.
3.2. Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3.3. Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
3.4. Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Các dạng bài tập
4.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số (không có tham số m)
4.1.1. Cho hàm số y = f(x) - B1: Tìm TXĐ, tính f’(x), - B2: Giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm. - B2: Sắp xếp các nghiệm và lập bảng xét dấu f’(x). - B3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. +) Nếu f’(x) > 0 thì hàm số đồng biến +) Nếuf’(x) < 0 thì hàm số nghịch biến
4.2. Dang 2: Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m
4.2.1. Hàm đồng biến, nghịch biến trên TXĐ
4.2.1.1. Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x)=ax3 + bx2 + cx + d (a # 0) + Tính f ’(x) = 3ax2 + bx + c Hàm số f(x) đồng biến trên R a>0; b2-3ac nhỏ hơn hoặc bằng 0 Hàm số f(x) nghịch biến trên R a<0; b2-3ac nhỏ hơn hoặc bằng 0
4.2.1.2. Đối với hàm phân thức bậc nhất y= (ax+b) / (cx+d) +) Tính y' Hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi y'>0 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định khi y'<0
4.2.2. Hàm đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước
4.2.2.1. B1: Kiểm tra TXĐ: Tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b)
4.2.2.2. B2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc f'(x) nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng (a;b) theo yêu cầu của bài toán