Les triangles: Polygone à trois côtés

Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
Les triangles: Polygone à trois côtés by Mind Map: Les triangles: Polygone à trois côtés

1. Triangle rectangle: un angle droit

1.1. Trigonométrie

1.1.1. Cosinus d'un angle aigu est égal au rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse

1.1.1.1. Permet de retrouver une longueur (hypoténuse ou un côté de l'angle droit) lorsque l'on connait l'angle et une des deux longueurs

1.1.1.2. Permet de retrouver la mesure d'un angle lorsque l'on connait la longueur de l'hypoténuse et la longueur d'un autre côté

1.1.2. Sinus d'un angle

1.1.3. Tangente d'un angle

1.2. somme des angles aigus est égale à 90°

1.3. Théorème de Pythagore, Réciproque et contraposée

1.3.1. Réciproque: Dans un triangle, lorsque le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, le triangle est rectangle.

1.3.1.1. Cette propriété permet de montrer qu'un triangle est rectangle. On calcule le carré du plus grand côté puis (séparément) la somme des carrés des deux autres côtés et on compare les deux résultats.

1.3.2. Contraposée: Dans un triangle, lorsque le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres côtés, le triangle n'est pas rectangle.

1.3.2.1. méthode identique à la réciproque

1.3.3. Théorème: Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

1.3.3.1. Exemple: Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore on a: BC² = AB² + AC². Cette propriété permet de calculer un des côtés lorsque l'on connaît la longueur des deux autres.

1.4. Cercle circonscrit

1.4.1. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse

1.4.2. Tout triangle inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés est rectangle.

1.4.3. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est la moitié de la longueur de l'hypoténuse

2. Triangle quelconque

2.1. La somme des angles est 180°

2.2. Le cercle circonscrit a pour centre l'intersection des médiatrices

2.2.1. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu

2.2.1.1. Tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment

2.2.1.2. Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment

2.2.1.2.1. cette proprété permet de tracer la médiatrice à l'aide du compas. On cherche deux points équidistants des extrémités du segment. La médiatrice passe par ces deux points

2.2.2. Une hauteur d'un triangle est une droite perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. On dit quelle est issue du sommet par lequel elle passe ou relative au côté qui lui est perpendiculaire. Les 3 hauteurs sont concourantes. Leur intersection est appelé l'hortocentre.

2.2.2.1. Le pied de la hauteur est l'intersection d'une hauteur avec le côté perpendiculaire

2.2.2.2. Une hauteur est aussi la longueur du segment ayant pour extrémités un pieds de hauteur et un sommet

2.2.2.3. L'aire d'un triangle est la moitié du produit de la longueur d'un côté par sa hauteur relative.

2.3. Les bissectrices d'un triangles sont concourantes. Leur intersection est le centre du cercle inscrit.

2.3.1. La bissectrice d'un angle est une demi-droite coupant l'angle en deux angle de même mesure

2.3.1.1. La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de l'angle.

2.3.1.1.1. Cette propriété permet de construire la bissectrice au compas. On cherche un point équidistant de deux points situés sur chaque côté et à égale distance du sommet. La bissectrice passe par le sommet et ce point.

2.4. Les médianes d'un triangle sont les droites passant par le milieu d'un côté et par le sommet opposé à ce côté. Elles sont concourantes. Leur intersection est appelé le centre de gravité.

2.5. Théorème de Thalès: dans un triangle, lorsqu'une droite passant par deux points des côtés du triangle est parallèles aux troisième côté alors les rapports des côtés du petit triangle (qui apparaît) sur les côtés du triangle initial, qui leurs sont parallèles, sont égaux.

3. Triangle isocèle: deux côtés de même longueur

3.1. Le sommet recevant les deux côtés de même longueur est appelé "le sommet principal". Le côté opposé au sommet principal est appelé "la base"

3.2. Les angles à la base sont de même mesure

3.3. La hauteur, la médiane issues du sommet principal, la bissectrice de l'angle ayant pour sommet le sommet principal et la médiatrice de la base sont confondues

3.4. La médiatrice de la base est un axe de symétrie

4. Triangle équilatéral: trois côtés de même longueur

4.1. Les 3 angles mesurent 60°

4.2. Médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices sont confondues

4.3. Les médiatrices sont des axes de symétrie

4.4. C'est un polygone régulier.