Способы вычисления числа Пи

Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
Способы вычисления числа Пи by Mind Map: Способы вычисления числа Пи

1. Метод № 1 Простейшее измерение. Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину одного полного оборота нити, разделим полученное число на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближённым значением числа Пи.

2. Метод № 2 Метод Монте-Карло.Это метод статистических испытаний. Своё название он получил от города Монте-Карло. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов , создающих случайные числа , может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи дождя. Для опыта можно взять кусок картона , нарисовать на нём квадрат и вписать в него четверть круга. Если такой чертёж подержать некоторое время под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур , так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв –число капель в квадрате, тогда П ~ 4* Nкр / Nкв. В этом способе можно использовать вместо дождя таблицу случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе.

3. Метод № 3 Величайший математик древности Архимед вычислил и приближенное значение Пи, причем на основе математических принципов, а не прямых измерений длины окружности, площади круга и диаметра. Архимед вписывал в окружность и описывал около нее правильные многоугольники (т. е. многоугольники со сторонами одинаковой длины). Диаметр окружности принимался за единицу, а периметры описанного и вписанного многоугольников рассматривались как приближения соответственно сверху и снизу к длине окружности, которая в данном случае численно совпадала с Пи.

4. Метод № 4 В 1674 г. Лейбниц вывел формулу 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = p/4 (арктангенс единицы). (Общий ряд для арктангенса был открыт в 1671 г. шотландским математиком Джеймсом Грегори, хотя аналогичные выражения, по-видимому, были получены в Индии на несколько столетий раньше.) Недочет этого приближения, определяемый, как разность между суммой n членов ряда и точным значением p/4, приблизительно равна (n + 1)-му члену. Так как знаменатель каждого следующего слагаемого возрастает лишь на два, то, чтобы получить приближение с точностью до двух знаков, приходится суммировать около 50 членов, с точностью до трех знаков - около 500 и т. д. Таким образом, этот ряд практически непригоден для нахождения более чем нескольких первых знаков Пи.