1. Ecuaciones de la elipse En coordenadas cartesianas
1.1. Forma cartesiana centrada en el origen
1.1.1. La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es: x2a2+y2b2=1 donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.
1.2. Forma cartesiana centrada fuera del origen
1.2.1. Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es: (x−h)2a2+(y−k)2b2=1
2. Elementos de una elipse
2.1. Puntos de una elipse
2.1.1. Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a). Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q. Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: PF1+PF2=2a donde a es la medida del semieje mayor de la elipse.
2.2. Ejes de una elipse
2.2.1. El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
2.3. Constante de la elipse
2.3.1. En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
3. Elementos gráficos de la elipse
3.1. Nomenclatura
3.2. Los diámetros principales o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y D-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor.
3.3. Rectas directrices
3.4. La definición de las rectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen. Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.
3.5. Diámetros conjugados
3.6. Se denominan diámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la derecha). Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).
4. Ecuacions de elipseEn coordenadas polares
4.1. Forma polar centrada en origen
4.1.1. IncludeEn coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es: (epc 1)r(θ)=1cos2θa2+sin2θb2⎷ Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ε→1−b2a2−−−−−−√ ), es: (epc 2)r(θ)=b1−ε2cos2(θ)√ Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad. Si no se quiere pre-calcular la excentricidad ε→1−b2a2−−−−−−√ convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).d
4.2. Formas polares centradas en un foco
4.2.1. En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es: (501)r(θ)=a(1−ε2)1+εcosθ Para el foco F1: (502)r(θ)=a(1−ε2)1−εcosθ "Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse. En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ, la forma polar es: (503)r(θ)=a(1−ε2)1−εcos(θ−φ)} El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas a(1−ε2) es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.
4.2.2. Formas paramétricas
4.2.3. La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es: {x=h+acosαy=k+bsinα con α∈[0,2π) . α no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre α y θ es tgθ=ba tgα. La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro θ sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=h+1cos(θ)2a2+sin(θ)2b2√cosθy=k+1cos(θ)2a2+sin(θ)2b2√sinθ con θ∈[0,2π). El parámetro θ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k).