Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
Сфера. Куля. by Mind Map: Сфера. Куля.

1. Многогранники, описані навколо кулі

1.1. При цьому кулю називають вписаною у многогранник

1.2. Призма

1.2.1. Властивості призми описаної навколо кулі

1.2.1.1. Кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є многокутник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

1.2.1.2. Центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центри кіл, вписаних у многокутники основ призми.

1.2.2. Приклади

1.2.2.1. 1. Відомо, що в трикутну призму, сторони основ якої дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см, можна вписати кулю. Знайти радіус цієї кулі.

1.3. Піраміда

1.3.1. Властивості піраміди, описаної навколо кулі

1.3.1.1. Якщо в піраміді всі двогранні кути при основі рівні між собою, то в цю піраміду можна вписати сферу. Центр сфери належить висоті піраміди, точка дотику з основою піраміди збігається з центром вписаного в основу кола, а точки дотику з бічними гранями належать висотам цих граней.

1.3.1.2. У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю. Центр кулі належить висоті піраміди.

1.3.1.3. Центр кулі, вписаної у правильну піраміду, збігається з центром кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, бічною стороною якого є апофема правильної піраміди, а висотою — висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

1.3.1.4. Приклади

1.3.1.4.1. 1. Відомо, що в трикутну піраміду, висота якої дорівнює 20 см, а висота однієї з бічних граней 25 см, можна вписати кулю. Знайти її радіус.

2. Площа поверхні сфери

2.1. Площа поверхні сфери

2.2. Площа сферичного сегмента

2.3. Площа сферичного поясу

2.4. Задачі

2.4.1. Радіус сфери дорівнює 4 см. Знайти площу її поверхні.

2.4.2. Площа великого круга кулі дорівнює S. Знайти площу поверхні цієї кулі.

2.4.3. Радіус кулі збільшили у 3 рази. Як при цьому змінилася площа її поверхні?

2.4.4. Об'єм кулі зменшився у 64 рази. У скільки разів зменшилась площа її поверхні?

2.4.5. Знайти радіус кулі, якщо її об'єм і площа поверхні виражаються одним і тим самим числом.

2.4.6. Гіпотенуза і катети прямокутного трикутника є діаметрами трьох куль. Знайти площу поверхні більшої кулі, якщо площі поверхонь менших дорівнюють S1 і S2.

2.4.7. На відстані 5 см від центра кулі проведено переріз, площа якого дорівнює 144 см2. Знайти площу поверхні кулі.

2.4.8. На відстані 8 см від центра кулі проведено переріз, площа якого дорівнює 225 см2. Знайти площу сферичної поверхні меншого з кульових сегментів, що утворились.

2.4.9. Радіуси основ кульового поясу дорівнюють 6 см і 8 см, а радіус кулі — 10 см. Знайти площу сферичної поверхні кульового поясу, якщо паралельні площини, що перетинають кулю, розміщені: 1) по один бік від центра кулі; 2) по різні боки від центра кулі.

2.4.10. Радіус кулі дорівнює 4 см. Площина перетинає діаметр кулі під кутом 30° і ділить його у відношенні 1 : 3. Знайти площі сферичної поверхні частин, на які при цьому ділиться поверхня кулі.

3. Об'єм кулі

3.1. Об'єм кулі

3.2. Об'єм кульового сегмента

3.3. Об'єм кульового сектора

3.4. Задачі

3.4.1. Радіус кулі дорівнює 6 см. Знайти її об'єм

3.4.2. Радіуси двох куль відносяться як 3 : 4. Знайти відношення їх об'ємів.

3.4.3. У скільки разів треба зменшити радіус кулі, щоб її об'єм зменшився у 5 разів?

3.4.4. Дві кулі, радіуси яких 5 см і 7 см, мають спільний центр. Знайти об'єм тіла, яке міститься між поверхнями цих куль.

3.4.5. Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а його висота — 4 см. Знайти радіус кулі, яка рівновелика цьому циліндру.

3.4.6. На відстані 3 см від центра кулі проведено переріз. Знайти довжину лінії перетину площини перерізу і поверхні кулі, якщо об'єм кулі дорівнює — 500/3 см3

3.4.7. Через кінець радіуса кулі проведено переріз, який утворює з цим радіусом кут . Знайти об'єм кулі, якщо площа перерізу дорівнює S.

3.4.8. Вершини рівностороннього трикутника зі стороною а лежать на поверхні кулі, об'єм якої дорівнює V. Знайти відстань від центра кулі до площини трикутника.

3.4.9. Діагоналі ромба дорівнюють а і b. Куля дотикається всіх сторін ромба. Знайти об'єм кулі, якщо відстань від її центра до площини ромба дорівнює т.

3.4.10. Знайти об'єм кульового сегмента, якщо радіус кулі дорівнює 4 см, а висота кульового сегмента — 3 см.

3.4.11. Знайти об'єм меншого кульового сегмента, якщо радіус кола його основи дорівнює 8 см, а радіус кулі — 10 см.

3.4.12. Знайти об'єм кульового сектора, якщо радіус кулі дорівнює 4 см, а висота відповідного кульового сегмента — 6 см.

3.4.13. Радіус кулі дорівнює 12 см. Знайти об'єм кульового сектора цієї кулі, якщо дуга в його осьовому перерізі містить 90°.

4. Основні величини

4.1. Радіус

4.2. Хорда

4.3. Діаметр

4.4. Куля

5. Частини кулі

5.1. Сегмент

5.1.1. Об'єм сегмента

5.1.2. Площа сегмента

5.2. Зріз

5.2.1. Радіус відповідної кулі, R

5.2.2. Відстань між двома перерізами, H

5.2.3. Радіуси обох перерізів, r_1, r_2

5.2.4. Об'єм зрізу

5.2.5. Площа поверхні зрізу

5.3. Сектор

5.3.1. Об'єм сектора

5.3.2. Площа поверхні

6. Типи куль

6.1. Описана куля

6.1.1. 1.

6.1.2. 2.

6.1.3. 3.

6.1.4. 4.

6.1.5. 5.

6.2. Вписана куля

6.2.1. 1.

6.2.2. 2.

6.2.3. 3.

6.2.4. 4.