T isometría lineal: T preserva el producto interno

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T isometría lineal: T preserva el producto interno by Mind Map: T isometría lineal: T preserva el producto interno

1. Como preservan el producto interno se puede probar que también preservan la norma y las distancias

2. ⇐ T es sobreyectiva

2.1. ⇔las dimensiones del espacio de entrada y salida son iguales

2.2. ⇔Llevan bases ortonormales a bases ortonormales

2.3. ⇔ T: V->V es un operador ortogonal/unitario (T^-1=T*) (depende de si el cuerpo son los reales o los complejos)

2.3.1. ⇔ b(T)b=A es una matriz ortogonal/unitaria, donde B es una base ortonormal de V

2.3.1.1. ⇔ Las columnas forman una base ortonormal de Rn/Cn (dependiendo de si A es ortogonal o unitaria) (p.i. usual)

2.3.1.2. Si A es una matriz unitaria, existe P unitaria tal que D=conj(tras(P))AP es diagonal

2.3.1.3. Las raíces del polinomio característico tienen módulo 1

2.3.2. T es unitario (K=C)

2.3.2.1. λ es vap ⇒ |λ| = 1

2.3.2.1.1. Raíces características tienen módulo 1

2.3.2.2. Existe una b.o.n. de vectores propios (T es diagonalizable). Si agrego que los vaps tienen módulo 1 tengo un ⇔

2.3.2.3. λ1 y λ2 vaps diferentes ⇒ S_λ1 y S_λ2 son ortogonales

2.3.3. T es ortogonal (K=R)

2.3.3.1. λ es vap ⇒ λ = ±1

2.3.3.1.1. Raíces características tienen módulo 1

2.3.3.2. λ1 y λ2 vaps diferentes ⇒ S_λ1 y S_λ2 son ortogonales

3. T es inyectiva

4. Adjunta, transformaciones autoadjuntas, teoremas espectrales y etcétera

5. PDF de referencia

6. De izquierda a derecha todas las flechas son "entonces" a menos que se indique lo contrario (con un ⇐ al comienzo de la nube). Se puede acceder a algunas de las demostraciones o comentarios en el botón a la derecha de cada nube (en caso de estar disponible).

7. Observación: si se encuentra un camino para ir de una nube a otra que esté "permitido" por las flechas, una nube implica la otra.