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T isometría lineal: T preserva el producto interno by Mind Map: T isometría lineal: T preserva el
producto interno
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T isometría lineal: T preserva el producto interno

Como preservan el producto interno se puede probar que también preservan la norma y las distancias

La demostración de que si preserva el producto interno entonces preserva la norma: ||T(v)||=sqrt() =sqrt()=||v|| Al revés es medio embole y está en la página 16, proposición 7.1 del PDF de referencia. Que preserva la distancia se deduce del hecho de que la distancia se define con la norma, y la norma se preserva (observación 7.3 de la página 17)

⇐ T es sobreyectiva

⇔las dimensiones del espacio de entrada y salida son iguales

En general, cuando la dimensión del espacio de entrada es igual al de salida, tanto inyectividad como sobreyectividad implican biyectividad. Copio la demostración del pdf acá: (⇒) Sabemos que T es sobreyectiva. Pero por ser T una isometr´ıa, de acuerdo con la Proposici´on 7.5, tambi´en es inyectiva. Es decir que T : V → W es un isomorfismo entre V y W, y por consiguiente dim V = dim W (⇐) Como T es inyectiva (por ser isometr´ıa) y dim V = dim W se tiene que T es sobreyectiva

⇔Llevan bases ortonormales a bases ortonormales

Prop 7.8, página 18 del pdf

⇔ T: V->V es un operador ortogonal/unitario (T^-1=T*) (depende de si el cuerpo son los reales o los complejos)

Esta prueba es para el camino entre esta nuble y la nube "isometrias lineales". La misma prueba está en la página 19, prop 8.1 del pdf. (⇒) Como T es una isometría, es inyectiva. Además por hipótesis es sobreyectiva, entonces es invertible. Se quiere probar que T^-1 es igual a T*. = Como es una isometría y preserva el p.i. se tiene que: =T^-1(w)> Como =T^-1(w)>, T^-1=T* (esto por el lema 1.1, página 1) (⇐) Como T es invertible y T^-1=T* se cumple que T* compuesta T es la identidad. Para probar que T es es una isometria se prueba que preserva el producto interno: == (por definición de adjunta)

⇔ b(T)b=A es una matriz ortogonal/unitaria, donde B es una base ortonormal de V, ⇔ Las columnas forman una base ortonormal de Rn/Cn (dependiendo de si A es ortogonal o unitaria) (p.i. usual), Si A es una matriz unitaria, existe P unitaria tal que D=conj(tras(P))AP es diagonal, Las raíces del polinomio característico tienen módulo 1

T es unitario (K=C), λ es vap ⇒ |λ| = 1, Raíces características tienen módulo 1, Existe una b.o.n. de vectores propios (T es diagonalizable). Si agrego que los vaps tienen módulo 1 tengo un ⇔, λ1 y λ2 vaps diferentes ⇒ S_λ1 y S_λ2 son ortogonales

T es ortogonal (K=R), λ es vap ⇒ λ = ±1, Raíces características tienen módulo 1, λ1 y λ2 vaps diferentes ⇒ S_λ1 y S_λ2 son ortogonales

T es inyectiva

Por GÁL 1, una transformación es inyectiva si el único elemento de ker(T) es el 0. Para todo vector v de ker(T), T(v)=0 ⇒ la norma de T(v) es 0. Como las isometrías lineales preservan la norma, la norma de v es 0. Se concluye que v es 0.

Adjunta, transformaciones autoadjuntas, teoremas espectrales y etcétera

PDF de referencia

De izquierda a derecha todas las flechas son "entonces" a menos que se indique lo contrario (con un ⇐ al comienzo de la nube). Se puede acceder a algunas de las demostraciones o comentarios en el botón a la derecha de cada nube (en caso de estar disponible).

Observación: si se encuentra un camino para ir de una nube a otra que esté "permitido" por las flechas, una nube implica la otra.