Cálculo Integral

1. Definición

1.1. El cálculo integral es la operación inversa a la derivación, razón por la cual tambien puede ser llamada "anti-derivación". Esto consiste en pasar una expresión ya derivada a su forma sin derivar Ejemplo: F(x) = (3x^2)                       dx = 6x Partiendo de la derivada    dx = 6x    para llegar a la función original se usa la integración o anti-derivación Entonces: ∫(6x)dx = (3x^2) + K

2. Tipos de Integrales

2.1. Definida Es el conjunto de toda la familia de funciones que entran a formar parte de la anti-derivada de una función.

2.1.1. Impropia Si en el reemplazo en la función de alguno de los valores dentro del rango definido por la integral, el resultado es inconcluso porque no se encuentra dentro del conjunto de los números reales, (x/0, (-x)^#par, ln(x<=0), la integral deberá dividirse en diferentes integrales en ls que solo uno de los límites es inconcluso. Esas integrales se suman para obtener el resultado el cual no es exacto sino una convergencia. Ejemplo: ∫(definida de 0 a infinito) Ln(x)dx = ∫(0 a 1) Ln(x) dx + ∫(1 a infinito) Ln(x) dx = Lim (x -> 0) l (0 a 1) x*Ln(x) - x + K + Lim(x->infinito) l (1 a infinito) x*Ln(x) - x + k

2.2. Indefinida Representa el área o valor acumulado de una *función, con respecto al eje x, en un intervalo específico [a , b] * F(x) función  continua

3. Métodos de integración

3.1. No Definida

3.2. Directa Los casos en los que se encuentran expresiones simples de integrar se hacen de manera directa por medio de la siguiente fórmula (teniendo en cuenta siempre las propiedades de la integración explicadas en el título a la derecha) Ejemplo: ∫(4x^3)dx = x^4 + k

3.3. Mediante manipulación aritmética  En casos más complejos en los cuales se puedan usar trucos aritméticos para simplificar el proceso de integración, se realizan los procesos algebraicos necesarios para facilitar el desarrollo del ejercicio.  Ejemplo:  ∫(3x + 3)^2 dx  =  ∫((9x^2) + 12x + 9)dx =   (3x^3) + 6x^2 + 9x  + k  En este caso se resolvió el binomio cuadrado para dejar la expresión en términos de suma y simplificar el proceso de integración

3.4. Mediante el uso de identidades trigonométricas  Si no son fáciles de resolver las funciones al momento de integrar, es importante tener presentes las identidades trigonométricas para transformar la función en una que sea más sencilla de integrar Identidades:  sin^2(x) + cos^2(x) = 1  sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2      cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2  Ejemplo:  ∫(sinx/cscx  +  cosx/secx) dx =  ∫(sinx / (1/sinx)   +   cosx / (1/cosx))dx=                      ∫(sin^2(x) + cos^2(x)) dx =                                        ∫1 dx =  x+k

3.5. Por partes Reconocer una función U y la derivada de otra dV dentro de la expresión integral: ∫ u dv: uv - ∫v du si f(x) + k =  ∫f(x) dx ∫(definida de a a b) f(x) dx = l (de a a b) f(x) + k f(b) + k - (f(a)+k)

3.6. Sustituciones Trigonómetricas Por medio de las identidades pitagóricas, es posible transformar la función de integración en una trigonométrica la cual se resolverá por cualquiera de los métodos mencionados anteriormente. Cuando hay: x^2 + 1 Sustitución: x = Tan(y) dx = Sec^2(y)dy Cuando hay: 1 - x^2 Sustitución: x= sin(y) dx=cos(y)dy Cuando hay: x^2 - 1 Sustitución: x=sec(y) dx=sec(y)tan(y)dy

3.7. Fracciones Parciales P(x) / Q(x)

3.7.1. Cuando P(x) >= al grado de Q(x) Se resuelve por División de Polinomios

3.7.2. Cuando P(x) < al grado de Q(x)

3.7.2.1. i) Q(x) se factoriza en términos lineales diferentes ∫(7x - 1)/((x^2 - x - 6) = ∫(7x-1)/(x-3)(x+2) = Se divide la función en dos y se iguala a la función inicial A/(x-3) + B/(x+2) = (7x-1)/(x-3)(x+2) Se resuelve la suma y se simplifican los denominadores Se generan diferentes ecuaciones simples, se encuentran los valores de A y B y se integra por los métodos mencionados anteriormente

3.7.2.2. ii) Q(x) se factoriza en términos iguales ∫1/(x^2 + 2x + 1)dx = ∫1/ (x+1)(x+1) = Se divide la función en dos y se iguala a la función inicial. Como los términos del denominador son iguales, en la siguiente función se eleva el denominador a un número más que el anterior A/(x+1) + B/(x+1)^2 Se resuelve la suma y se simplifican los denominadores Se generan diferentes ecuaciones simples, se encuentran los valores de A y B y se integra por los métodos mencionados anteriormente

3.7.2.3. iii) Q(x) se factoriza en términos NO lineales ∫(x^3 + 2x^2 - x + 7)/((x^2 + 1)(2x^2 + 3)) = ∫(x^3 + 2x^2 - x + 7)/((x^2 + 1)(2x^2 + 3)) = Se divide la función en dos y se iguala a la función inicial. Es importente tener en cuenta que el numerador debe tener un grado menos que el denominador y para eso se usa la función más simple de cada una. Ejemplo: si el denominador es de grado 2 en el numerador deberia haber un función del tipo Ax + B, si tiene grado 3, el númerador debería tener una función del tipo: Ax^2 + Bx + C (x^3 + 2x^2 - x + 7)/((x^2 + 1)(2x^2 + 3)) = (Ax + B)/(X^2 + 1) + (Cx + D)/(2x^2 + 3) Se resuelve la suma y se simplifican los denominadores Se generan diferentes ecuaciones simples, se encuentran los valores de A y B y se integra por los métodos mencionados anteriormente

3.8. Definida

3.9. Sumas de Riemann Método utilizado para calcular el área entre el eje x y una función en un intervalo definido de [a , b] por medio de límites y las siguientes propiedades: ∑ 1= N   ∑ i = (N (N+1)) / 2 ∑i^2 = (N(N+1) (2N+1)) / 6 ∑ i^3= N2 (N+1)2 / 4   Donde ∑ va de i=1 hasta n. Entonces: 1. Se debe encontrar el ancho Δx = (b-a)/n 2. Encontrar xi xi= a + Δx 3. Encontrar f(xi) reemplazando en la función la variable por el xi encontrado en el paso anterior 4.  Limite cuando n tiende a infinito de: ∑(i=1 hasta n)) de (f(xi)*(Δx))

3.10. Teorema fundamental del cálculo

4. Teorema Fundamental del cálculo

4.1. Integración y derivación son operaciones inversas

5. Aplicaciones

5.1. Proyección de presupuesto La función inicial dará cuentas de la relación entre la variable independiente que suele ser el tiempo y la dependiente que pueden ser ventas, ganancias, entre otras.  Estas funciones suelen estar determinadas por funciones inversas y su gráfica tiene por nombre la campana de Gauss Por otro lado, la integral, dará cuentas de las ventas, ganancias u otras, acumuladas a través del tiempo usualmente

5.2. Índice de Gini El índice de Gini muestra la repartición de dinero en un Estado y se guía bajo un modelo ideal en el que el dinero está repartido equitativamente en la población. Es decir el 10% de la población tendrá el 10% del total del dinero, el 40% el 40, y así sucesivamente. (Es acumulativo). Los países usualmente se encuentran por debajo de esta función lineal y se comportan como curva. (Curva de Lorenz) Entonces, lo que se busca por medio de las integrales definidas, es el área por debajo de la curva, entre menor sea, quiere decir que el país es más desigual en cuanta la repartición del dinero ya que se encuentra un espacio más grande entre la situación ideal y la real, pero si el resultado da más grande, esto quiere decir que se aproxima más a la situación ideal. Es importante resaltar que el resultado no tiene unidades y que este indicador solo analiza la equidad al momento de la repartición de dinero en un área determinada, más no la cantidad de dinero.

5.3. Excedente del productor/Consumidor Por medio de una resta de integrales de diferentes funciones, se obtiene el area del excedente del productor o consumidor Productor: muestra lo que "gana" el productor al haber vendido su producto a un precio menor del que le costaba producirlo Consumidor: muestra lo que deja de gastar un consumidor que estaba dispuesto a pagar cierto precio por un determinado producto pero que le costo menos

5.4. Optimización Por medio del uso de derivadas parciales o el método de lagrange

6. Referencias

6.1. Duran, Esteban. "Cálculo II Grupo 4". Colegio de Estudios Superiores de Administración CESA. julio - Agosoto 2016

7. Derivadas Parciales

7.1. Se da una función f(x,y) 1) Se deriva la función con respecto a x (Se denota ∂/∂x) Para eso se toma y como constante 2) Se deriva la función con respecto a y (Se denota ∂/∂y) 3) se iguala cada una de las funciones resultantes en los puntos anteriores a 0, se despejan y se obtienen diferentes puntos 4) se realiza una segunda derivada Dxy = Derivar la derivada de x con respecto a y Dxx = Derivar la derivada de x con respecto a x Dyy = Derivar la derivada de y con respecto a y Dyx = Derivar la derivada de y con respecto a x 5) Evaluar si Dxx = Dyy Si Dxx = Dyy continuar con paso 6 Obtener Hessiano para cada punto obtenido H = Dxy * Dyx - Dxx^2 Si: H>0 y Dxy>0 = Punto mínimo H>0 y Dxy<0 = Punto máximo H<0 Punto de silla H=0 Indefinido

7.2. Método LaGrange Cuando para una f(x,y) existe una restricción f(x,y) = Función objetivo Restricción también dada en función de x y y f(x,y,λ) = f(x,y) - λ(restricción) para resolver se siguen los mismos pasos explicados anteriormente