Инверсия

1. Определение

1.1. Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

2. Применение

2.1. С помощью инверсии можно решить известную задачу Аполлония, математически описать принцип действия механизма Липкина — Посселье.

2.2. С помощью инверсии можно показать, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)

3. Свойства

3.1. Инверсия относительно окружности центром O обладает следующими основными свойствами:

3.2. Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.

3.3. Прямая, проходящая через O, переходит в себя.

3.4. Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.

3.5. Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).

3.6. Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

3.7. Окружность или прямая, перпендикулярная к переходит в себя.

4. Построение

4.1. Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом:

4.2. Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'

4.3. Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'

4.4. Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой

5. Координатные представления

5.1. Декартовы координаты

5.2. Полярные координаты

6. Полезные сайты

6.1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)

6.2. http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.35.pdf

6.3. http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl28.htm

6.4. http://e-maxx.ru/algo/geometric_inversion

6.5. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8614