DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y SUS APLICACIONES
by Andrea Genaro
1. Definición 1: Sea f una función definida en un intervalo abierto (a,b), y supongamos que cE (a,b). El límite, designado por f'(c) se llama derivado de f en C.
1.1. lim f(x9 - f(c)/ x - c x - c
1.2. Lo define una nueva función f', cuyo dominio esta formado por aquellos puntos de en los que f' se llama primera derivada.
2. Definición de la Derivada:
2.1. Definición Formal: Si esta definida sobre un intervalo abierta (a,b), entonces para cada dos puntos distintos y podemos considerar el cociente de diferencias llamada COCIENTE INCREMENTAL.
2.1.1. f(x) - f(c)/x-c
3. Definición 2: Derivada como una pendiente Método de Fermat para calcular la pendiente fue desarrollada durante 1630, y aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado por Newton y Luibniz.
3.1. Sin utilizar el concepto de DERIVADA
3.1.1. Como una misteriosa "e"
3.2. Fermat desarrollo un método para hallar tangentes a curvas planas.
3.3. Se desea encontrar la tangente a la parabola y= x2 en algún punto (x , x2). Se desea x + e un punto cercano a x sobre el eje x y sea la subtangente a la curva en el punto (x, x2)
3.3.1. x2/s = k/ s + e
3.3.2. Fermat observo que k es aproximadamente igual a = ( x + e ) e Luego se tiene x2/s = (x + e)2 / s + e Resolviendo para s= x2 e = 2 xs + s e2 Luego: s = x2 e / 2x + e2 = x2/ 2x + e =x2/s = 2x + e
3.3.2.1. x2 / 2 : Es la pendiente de la tangente a la parábola en el punto (x , x2)
3.4. Aunque la lógica de la exposición de Fermat deja mucho que desear, se ve que su método es equivalente a establecer que:
3.4.1. mtan = lim f(x+e) - f(x)/e e = 0
3.4.1.1. La pendiente de la tangente es igual al cálculo del límte cuando tiende a cero.
4. La pendiente de una curva
4.1. Curva - Pendiente
4.2. Pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva.
4.3. Formula: mt= lim f(x0 + h) - f (x0)/ h h - 0
4.3.1. mt= lim f(x0 +
5. Definición 3: Derivada como cociente incremental Leibniz con sus trabajos por encontrar un método general para hallar la tangentea una curva dieron origen a la noción de derivada como el cociente incremental a el cociente de diferencia de una función y=f(x)
5.1. dy= f(x1) - f(x) / x1 - x / dx
5.1.1. x = No es cero, sino una cantidad infinitamente pequeña una "diferencial" llamada dx
6. Definición 4: Derivada por el método de fluxiones Newton en libros " Métodos Fluxiorum et Serierum Infinitorom" escrito en 1671 y publicado en 1736
6.1. Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza.
6.1.1. y + y 0 , y al ser y + y0 = f (x + x0) será = y f (x + x0 ) - f(x) / 0