Analytische Geometrie

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Analytische Geometrie von Mind Map: Analytische Geometrie

1. Punkte

1.1. Lage im 3D Raum

1.1.1. Punkte werden mit x, y und z beschrieben

1.1.2. -

1.2. Abstand Punkt-Punkt

1.2.1. Vektor von den beiden Punkten aufstellen und Länge berechnen

2. Vektoren

2.1. Ortsvektoren

2.1.1. Ein Vektor dessen Anfangspunkt im Koordinatenursprung liegt und zu einem Punkt führt

2.1.1.1. Bild

2.2. Richtungsvektoren

2.2.1. Hat einen beliebigen Start und Anfangspunkt und kann mehrfach eingezeichnet werden

2.2.1.1. Bild

2.3. Nachweis Parallelität

2.3.1. Zwei Vektoren sind den Parallel, wenn ihre Richtungsvektoren vielfache voneinander sind

2.3.1.1. Bild

2.4. Vektorbetrag

2.4.1. Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an!

2.4.1.1. Rechnung

2.4.1.1.1. Beispiel

2.5. Rechnen mit Vektoren

2.5.1. Bei Addition und Subtraktion immer Reihe plus/minus Reihe

2.5.1.1. Rechnung

2.5.1.1.1. Visualierung

2.6. Skalarprodukt

2.6.1. Die Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) ergibt eine reelle Zahl (Skalar).

2.6.1.1. Rechnung

2.6.1.1.1. Erklärung

2.7. Kreuzprodukt

2.7.1. Durch das Kreuzprodukt zweier Vektoren erhält man einen dritten Vektor, der senkrecht auf den anderen beiden steht.

2.7.1.1. Veranschaulichung

2.7.1.1.1. Rechnung

2.8. Spatprodukt

2.8.1. Der Spat ist der Raum den drei Vektoren aufspannen. Das Spatprodukt ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt (Flächeninhalt) zweier Vektoren und einem dritten Vektor

2.8.1.1. Veranschaulichung

3. Geraden

3.1. Lage

3.1.1. Gerade - Gerade

3.1.1.1. Verfahren

3.1.1.1.1. Identisch

3.1.1.1.2. Echt parallel

3.1.1.1.3. Schnittpunkt

3.1.1.1.4. Darstellung

3.1.1.1.5. Windschief

3.1.2. Gerade - Ebene

3.1.2.1. Vorgehen: Jede Zeile der Geraden als x,y,z in die Ebene einsetzen und nach dem Parameter der Geraden umstellen

3.1.2.1.1. Identisch

3.1.2.1.2. Schnittpunkt

3.1.2.1.3. Echt Parallel

3.2. Punktprope

3.2.1. Punkt mit Gerade Gleichsetzen und nach Parameter der Geraden auflösen.

3.2.1.1. Ist der Wert in jeder Zeile gleich liegt der Punkt in der Ebene

3.3. Geradengleichung

3.3.1. Für eine Geradengleichung brauche ich einen Ortsvekor, also der Vektor der vom Ursprung zur Geraden führt. Als nächstes benötige ich einen Richtungsvektor, welcher bestimmt in welche Richtung die Gerade zeigt. Dieser kann beliebig oft mit einem Parameter erweitert werden.

3.3.1.1. Bild

4. Ebenen

4.1. Form

4.1.1. Eine Ebene kann in drei verschiedenen Formen beschrieben werden.

4.1.1.1. Parameterform

4.1.1.1.1. Schreibweise

4.1.1.2. Normalenform

4.1.1.2.1. Schtreibweise

4.1.1.3. Koordinatenform

4.1.1.3.1. Schreibweise

4.2. Punktprope

4.2.1. In Ebene einsetzen und auflösen. Wahres Ergebnis = Punkt liegt in Ebene

4.3. Spurpunkte

4.3.1. Die Schnittpunkte einer Ebene mit einer der Koordinatenachsen

4.3.1.1. Um die Spurpunkte von der x-Achse zu erhalten setze ich einfach y und z in der Koordinatenform = 0 und löse nach x auf.

4.3.1.1.1. Bild

4.4. Lage

4.4.1. Ebene - Ebene

4.4.1.1. Berechnung: Man benötigt eine Ebene in Parameterform und eine in Koordinatenform. Nun setzt man die Ebene in Parameterform in die x-Werte der anderen Ebene Zeile für Zeile ein und löst auf.

4.4.1.1.1. Die Ebenen sind Identisch wenn ich eine wahre Aussage erhalte. 2=2 oder -4=-4

4.4.1.1.2. Die Ebenen sind Parallel, wenn man eine ein falsches Ergebnisse ohne einen Parameter erhält wie -2=2 oder 2=1

4.4.1.1.3. Die Ebenen schneiden sich, wenn die Lösung einen Parameter enthält.

4.4.2. Ebene - Gerade

4.4.2.1. Schnittpunkt

4.4.2.1.1. https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/lagebeziehungen-und-schnitt/schnitt-gerade-ebene

5. Abstände

5.1. Punkt - Punkt

5.2. Punkt - Ebene

5.2.1. Lotfußpunktverfahren

5.2.1.1. 1. Hilfsgerade erstellen, die den Punkt als OV hat und den Normalenvektor der Ebene als RV hat.

5.2.1.1.1. 2. Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene berechnen. Ergibt den Lotfußpunkt

5.2.2. Abstandsformel

5.2.2.1. https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-punkt-ebene

5.3. Punkt - Gerade

5.3.1. Abstandsformel

5.4. Gerade - Gerade

5.4.1. Windschiefe Geraden

5.4.1.1. 1. Stelle eine Hilfsebene aus der geraden g plus dem Richtungsvektor der geraden h aus.

5.4.1.1.1. 2. Hilfebene in Koordinatenform umschreiben

5.4.2. Parallele Geraden

6. Winkelberechnung

6.1. Skalarprodukt

6.1.1. Das Skalarprodukt beinhaltet den Winkel zwischen zwei Vektoren weshalb man mit ihm auch den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen indem man die Formel umstellt

6.2. Orthogonlaität

6.2.1. Zwei Vektoren sind Orthogonal, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Die Bedingung dafür ist, dass das Skalarprodukt null ist.

6.3. Winkel zwischen zwei Vektoren

6.4. Gerade - Gerade

6.4.1. https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/lagebeziehungen-und-schnitt/schnittwinkel-zwischen-geraden-undoder-ebenen

6.5. Ebene - Gerade

6.6. Ebene - Ebene

7. Gleichungen lösen Hmf

7.1. Gleichsetzungsverfahren

7.1.1. 1. Beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auflösen

7.1.1.1. 2. Gleichsetzen

7.1.1.1.1. 3. Gleichung nach der Variablen lösen

7.2. Einsetzungsverfahren

7.2.1. 1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen

7.2.1.1. 2. Diesen Term in die Variable der anderen Gleichung einsetzen

7.2.1.1.1. 4. Auflösen und einsetzen

7.3. Gauß - Verfahren

7.3.1. https://youtu.be/7CQ2yzcnXN8

7.4. Quadratische Gleichungen

7.4.1. PQ-Formel

7.4.1.1. Formel

7.4.2. ABC-Formel

7.4.2.1. Formel

8. TR-Befehle

8.1. Norm

8.1.1. Menu 7,7,1

8.1.2. Bestimmt die Länge eines Vektors

8.2. Einheitsvektor

8.2.1. Bestimmt den Vektor mit der Länge 1

8.2.2. Menü, 7, c, 1

8.3. Skalarprodukt

8.3.1. Menü, 7, c, 3

8.4. Kreuzprodukt

8.4.1. Menü, 7, c, 2

8.5. Solve

8.5.1. Menü 3, 1

9. Aufgaben

9.1. Vektoren

9.2. Geraden

9.3. Ebenen und Geraden

9.4. Zeltaufgabe

9.4.1. 2.