Copy of Polynome

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Copy of Polynome von Mind Map: Copy of Polynome

1. Spezielle Polynome

1.1. Einige häufig auftretende Polynome haben spezielle Bezeichnungen:

1.1.1. Konstante Polynome: p(x)=c mit cR, c konstant

1.1.2. Lineare Polynome: p(x)=mx+n mit m,n CR

1.1.3. Quadratische Polynome: p(x)=ax^2+bx+c mit a,b,c CR

1.1.4. Kubische Polynome: p(x)=ax^3+bx^2+cx+d mit a,b,c,d CR

1.1.5. Biquadratische Polynome: p(x)=ax^4+bx^2+c mit a,b,c CR Bitte beachten: Bei biquadratischen Polynomen dürfen außer dem konstanten Summanden nur die Potenzen x^4 und x^2 einen Koeffizienten haben, der ungleich 0 ist.

1.2. Eine ganz wichtige Erkenntnis: Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ist im Bereich der reellen Zahlen "R" maximal so groß wie der Grad des Polynoms. In etwas verallgemeinerter Form steckt diese Erkenntnis im sogenannten "Fundamentalsatz der Algebra" und geht auf die Doktorarbeit von Carl Friedrich Gauß zurück. Polynome ungeraden Grades haben immer mindestens eine Nullstelle. Beispiele: Ein Polynom zweiten Grades kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Ein Polynom dritten Grades kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben.

1.3. Bemerkungen

1.3.1. Bemerkung 1: Nur bei linearen, quadratischen und biquadratischen Polynomen existieren einfache Lösungsalgorithmen zur Berechnung von Nullstellen. Bei Polynomen dritten, vierten oder höheren Grades kann das Finden von Nullstellen sehr aufwändig bzw. nur noch näherungsweise möglich sein.

1.3.2. Bemerkung 2: Die Bezeichnungen "lineares Polynom" und "lineare Funktion" meinen das Gleiche. Sie können also synonym verwendet werden. Das gilt ebenso für "quadratisches Polynom" und "quadratische Funktion".

2. Funktionen

2.1. In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet.

3. Nullstellen

3.1. Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln oder Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert P(x) null ist, d. h., die die Gleichung P(x)=0 erfüllen. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

3.1.1. Jede rationale Nullstelle eines normierten Polynoms (höchster Koeffizient ist 1) mit ganzzahligen Koeffizienten ist ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes, etwas allgemeiner gilt der Satz über rationale Nullstellen.

3.1.2. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad n größer oder gleich 1 mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann hat es genau n Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom (x-2)^2 eine doppelte Nullstelle bei x=2. Jedes Polynom positiven Grades lässt sich daher in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

3.1.3. Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren.

3.1.4. Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle

4. Koeffizienten des Polynoms