Axiomas de los numeros reales.

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Axiomas de los numeros reales. por Mind Map: Axiomas de los numeros reales.

1. Cerradura de la adición: Para cualesquiera dos números reales a y b, la suma es también un número real.

1.1. a = 11/2 y b = 8.31.

1.2. a+b = 11/2+8.31= 13.81

1.3. 13.81 está en R

2. Asociatividad de la adición: Para caulesquiera tres numeros reales a,b y c, el resultado de sumar a al numero(b+c) es igual al resultado de sumar (a+b) al numero c.

2.1. a = 5, b = π, c = −4.141

2.2. a + b = 8.14159...

2.3. (a + b) + c =4.00059 . . .

2.4. b + c = −1.00059 . . .

2.5. a + (b + c) = 4.00059 . . .

2.6. Por lo tanto (a + b) + c = a + (b + c).

3. Conmutavidad de la adición: el orden de la suma de dos numeros reales no altera el resultado

3.1. a = 1/2 y b = 2.5.

3.2. a + b = 3

3.3. b + a = 3

3.4. Por lo que a + b = b + a.

4. Existencia de un neutro para la adición: En los números reales existe el 0, el cual representa un elemento neutro para la suma. Es decir, a + 0 = a para cualquier número real a.

4.1. a = −15/2

4.2. entonces a + 0 = −15/2 + 0 = 7.5 + 0.0 = 7.5 = 15/2 = a.

5. Existencia del inverso aditivo: Para cualquier número real a, existe otro número real denotado por −a tal que a + (−a) = 0.

5.1. a = π, entonces −a = −π.

5.2. a + (−a) = π + (−π) = 3.14159 . . . + (−3.14159 . . .) = 0

6. Cerradura del producto: Para cualesquiera dos números reales a y b, el producto de estos números es también un número real.

6.1. a = 2 y b = 3.1416 (notar que b que no es π).

6.2. a · b = (2) · (3.1416) = 6.2832 que está en R.

7. Asociatividad del producto: Para cualesquiera tres números reales a, b y c, el resultado de multiplicar el número a por el número (b · c) es igual al resultado de multiplicar (a · b) por el número c. Es decir, a · (b · c) = (a · b) · c.

7.1. a = 3/2, b = 4/3, c = −12

7.2. a · b = (3/2) · (4/3) = 12/6 = 2 y (a · b) · c = (2) · (−12) = −24.

7.3. b·c = (4/3)·(−12) = −48/3 = −16 y a·(b·c) = (3/2)·(−16) = −48/2 = −24.

7.4. a · (b · c) = (a · b) · c

8. Conmutatividad del producto: El orden en que se multipliquen dos números reales cualesquiera, no altera su resultado.

8.1. a = 2.4 y b = −15

8.2. a · b = (2.4) · (−15) = (12/5) · (−15) = −180/5 = −36.

8.3. b · a = (−15) · (2.4) = (−15) · (2.4) = (−15) · (12/5) = −180/5 = −36.

9. Existencia del inverso para el producto: Para cualquier número real a distinto de 0, existe otro número real denotado por a −1 tal que a · (a−1)= 1.

9.1. a = 19/5,

9.2. a no es cero, tenemos que a −1 = 5/19

9.3. a · (a −1 ) = (19/5) · (5/19) = (19/19) · (5/5) = (1) · (1) = 1.

10. Existencia de un neutro para el produco:En los números reales existe el 1 (que es distinto de 0), el cual representa un elemento neutro para el producto. Es decir, a · 1 = a para cualquier número real a.

10.1. a = − √ 5/2,

10.2. entonces a · (1) = (− √ 5/2) · (1) = − √ 5/2 = a.

11. Distributividad del producto sobre la adición: Para cualesquiera tres números reales a, b y c se tiene que el producto de a con la suma (b + c) es igual al producto de a · b más el producto a · c. Es decir, a · (b + c) = a · b + a · c.

11.1. a = −3, b = 5.627, c = −1.2,

11.2. entonces b + c = 5.627 + (−1.2) = 4.427,

11.3. por lo que a · (b + c) = (−3) · (4.427) = −13.281

11.4. Por otro lado, a · b = (−3)·(5.627) = −16.881

11.5. y a · c = (−3)·(−1.2) = 3.6.

11.6. Lo que implica que a · b + a · c = (−16.881) + (3.6) = −13.281

11.7. Por tanto, a · (b + c) = a · b + a · c.