Productos Notables.

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Productos Notables. por Mind Map: Productos Notables.

1. Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

1.1. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

1.2. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2

1.3. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

1.4. Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a 2 – 2ab + b 2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b) 2

2. FACTOR COMÚN El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva: c (a + b) = c a + c b \, Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb. Ejemplo: 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

3. BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así: (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \, Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \, En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo. Ejemplo: (2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \, Simplificando: (2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

4. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO COMÚN Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes. (x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \, Ejemplo: (3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \, Agrupando términos: (3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \, Luego: (3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,

5. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados. (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \, Ejemplo: (3x+5y)(3x-5y) = \, (3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \, Agrupando términos: (3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \, A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

6. POLINOMIO AL CUADRADO Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos. (a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \, (a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \, Ejemplo: (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \, Multiplicando los monomios: (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \, + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \, + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \, Agrupando términos: (3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \, Luego: (3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,

7. BINOMIO AL CUBO Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente: El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. El cubo del segundo término. (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \, Ejemplo: (x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,