La transformada de Laplace

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La transformada de Laplace por Mind Map: La transformada de Laplace

1. QUIEN Y CUANDO SE POSTULO Este desarrollo matematico due postulado por Pierre-Simon Laplace, matemático y astrónomo teórico francés. En el año 1782 Laplace comenzó a estudiar dichas integrales como soluciones a ecuaciones diferenciales y según los historiadores, en el año 1785 decidió reformular el problema, lo que luego dio nacimiento a las transformadas de Laplace como hoy se entienden.

2. RELACIÓN CON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones $ f(t)$, periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac

3. QUE ES Es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable

4. UTILIDAD E IMPORTANCIA La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

5. PROPIEDADES Linealidad Derivación Integración Dualidad Desplazamiento de la frecuencia Desplazamiento temporal Desplazamiento potencia n-ésima Convolución Transformada de Laplace de una función con periodo p Condiciones de convergencia Teorema del valor inicial Teorema del valor final

6. APLICACIONES Una de las aplicaciones es que permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema sin tener que resolver las diferencias del sistema también es cuando se resuelve la ecuación diferencial es posible obtener simultáneamente tanto el componente transitorio como el componente de estado estable en la solicion

7. TRANSFORMADAS MAS COMUNES Retraso ideal Impulso unitario Enésima potencia retrasada y con Desplazamiento en la frecuencia n-ésima potencia q-ésima potencia Escalón unitario Escalón unitario con retraso Rampa Potencia n-ésima con cambio de frecuencia Amortiguación exponencial Convergencia exponencial Exponencial doble Seno Seno con fase Seno hiperbólico Soseno hiperbólico Onda senoidal con amortiguamiento exponencial Onda cosenoidal con amortiguamiento exponencial Raíz n-ésima Logaritmo natural Función de Bessel de primer tipo, de orden n Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0 Función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0 Función de error