ESPACIOS VECTORIALES

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ESPACIOS VECTORIALES por Mind Map: ESPACIOS VECTORIALES

1. Construcción

1.1. Es una estructura algebraica de un conjunto no vacío, a partir de una operación interna (llamada suma,) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto.

2. Transformación Lineal

2.1. función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contradominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

3.1. Cerradura multiplicativa

3.1.1. Distributividad respecto a un escalar (a+b)*u=a*u+b*u

3.1.2. Distributividad respecto a un vector (a*(u+v)=a*u+a*v

3.1.3. Asociatividad multiplicativa: a*(b*u)=(a*b)*u

3.1.4. Elemento neutro multiplicativo = 1

3.2. Cerradura aditiva

3.2.1. Conmutatividad: u+v =v*u

3.2.2. Asociatividad: u + (v+w)=(u+v)+w

3.2.3. Neutro aditivo = cero

3.2.4. Existencia de elementos inversos

4. Espacios con producto interno

4.1. El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

4.1.1. u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

4.1.2. ‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

4.2. Propiedades de los productos interiores:

4.2.1. 1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0

4.2.2. 2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›

4.2.3. 3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

4.2.4. Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

5. BASES

5.1. Se llama base de un espacio o subespacio vectorial a un sistema generado por dicho espacio que sea linealmente independiente..

5.1.1. 1.- Una base S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible)

5.1.2. 2.- Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible.

5.1.3. 3.- Una base S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de manera única para cada vector.

6. Aplicaciones lineales

6.1. se define la matriz de una aplicación lineal una vez que se ha fijado una base con respecto a la cual definir las coordenadas

6.2. Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y otros métodos y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (relacionar una función matemática con diversas variables independientes y las derivadas parciales de la misma respecto de dichas variables).

6.3. es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones (suma de vectores y producto por escalares).

6.3.1. una aplicación lineal f : Rn → Rm es siempre una función de la forma f(x) = Ax con A ∈ Mm×n

6.3.2. Se llama núcleo de una aplicación lineal f, y se escribe Nuc(f), a las soluciones de f(⃗x) = ⃗0.

7. Orto-normales y método de Gram Schmidt,

7.1. es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

7.1.1. se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector {v} y su proyección sobre otro vector {u}, es perpendicular al vector {u}.