ESPACIOS VECTORIALES

1. Construcción de espacios vectoriales

1.1. Un espacio vectorial es un conjunto no vacio V de objetos, llamados vectores, en el que estan definidas dos operaciones, llamadas adicion y multiplicación por un escalar (números reales), sujeta a 10 axiomas (o reglas).

1.1.1. AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL (ADICIÓN) Conmutatividad: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢,∀ 𝑢,𝑣 ∈ 𝑉. Asociatividad: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤; ∀ 𝑢,𝑣,𝑤 ∈ 𝑉 Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢,∀ 𝑢∈𝑉. Elemento opuesto: Para cualquier 𝒖∈𝑽, existe un −𝒖∈𝑽 tal que ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 existe ( −𝑢) ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 =0

1.1.2. AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL (PRODUCTO POR UN ESCALAR) Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para 𝒖∈𝑽 y 𝜶,𝜷∈ℝ se cumple: 𝜶𝜷𝒖=𝜶𝜷𝒖 Primera ley distributiva: Para 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝜶 ∈ ℝ se cumple: 𝜶𝒖 + 𝒗 = 𝜶𝒖 + 𝜶𝒗 Segunda ley distributiva: Para 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se cumple: 𝜶 + 𝜷𝒖 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒖. Para cada vector 𝒖 ∈ 𝑽 se cumple: 1.𝑢 = 𝑢

1.2. Bases

1.2.1. Una base de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial. Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

2. Orto-normales

2.1. En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

3. Método de Gram Schmidt

3.1. El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclídea. En primer lugar tenemos que: A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectores es ortogonal.

4. Espacios con producto interno

4.1. En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R2 y en R3, a otros espacios vectoriales. Sólo se considerarán espacios vectoriales sobre R o sobre C. Producto interno Algunas nociones geométricas en R 2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar. La definición que sigue es una generalización del producto escalar a otros espacios vectoriales.

5. Transformaciones lineales

5.1. Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones.

6. Aplicaciones de espacios vectoriales.

6.1. En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otros vectores perpendicular al vector Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.