DISEÑO FACTORIALES

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DISEÑO FACTORIALES por Mind Map: DISEÑO FACTORIALES

1. Conceptos básicos en diseños factoriales

1.1. El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés sobre todos los factores. Por ejemplo, uno de los objetivos particulares más importantes que en ocasiones tiene un diseño factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la que el desempeño del proceso sea mejor. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para estudiar la manera en que influye cada factor sobre la variable de respuesta es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Con el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles de los factores a investigar

1.1.1. Efecto principal y efecto de interacción. El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular, los efectos principales son los cambios en la media de la variable de respuesta que se deben a la acción individual de cada factor. En términos matemáticos, el efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su primer nivel, y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su segundo nivel.

1.2. Representación de los efectos principales y la interacción

1.2.1. El efecto principal de un factor se representa de manera gráfica como en la figura 5.1a, en cuyo eje horizontal se ubican los niveles del factor y en el eje vertical se encuentra la media de la respuesta observada en los correspondientes niveles. En la figura referida se aprecia que, en el ejemplo 5.1, el efecto principal (individual) del factor B es mayor que el del factor A. El efecto de interacción de los dos factores de la tabla 5.1 se pueden graficar como en la figura 5.1b; en el eje vertical se pone una escala que represente la magnitud de la variable de respuesta, luego uno de los factores se representa con sus dos niveles en el eje horizontal y en dirección vertical de cada uno de estos niveles, se anota un punto que represente la respuesta promedio en cada nivel del otro factor. Al final, cada punto del lado izquierdo se une con su correspondiente punto del lado derecho mediante una línea recta.

2. Experimentación factorial vs. mover un factor a la vez

2.1. Los diseños factoriales son más eficientes que el tradicional experimento de mover un factor a la vez, que utilizan las personas cuando no tienen conocimiento del diseño de experimentos. Una forma de ver la ineficacia de mover un factor a la vez se ilustra a través del siguiente ejemplo. Se trata de estudiar los efectos sobre el rendimiento de un proceso que tienen tres factores: A (temperatura), B (contenido de sólidos) y C (tiempo de residencia).

2.1.1. Ventajas de los diseños factoriales

2.1.1.1. 1. Permiten estudiar el efecto individual y de interacción de los distintos factores. 2. Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se requiera una exploración más completa. Por ejemplo, es útil aumentar el diseño si el comportamiento de la respuesta no es lineal en los factores controlados (capítulo 12). 3. Se pueden correr fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando interesa descartar de manera económica los que no son importantes, antes de hacer un estudio más detallado con los factores que sí son importantes.

3. Diseños factoriales con dos factores

3.1. Considere los factores A y B con a y b (a, b≥ 2) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial a × b, el cual consiste en a × b tratamientos. Algunos casos particulares de uso frecuente son: el factorial 22, el factorial 32 y el factorial 3 × 2. Se llama réplica a cada corrida completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de cuatro factores por lo regular se corren replicados para tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efectos de interés. Si se hacen n réplicas, el número total de corridas experimentales es n(a × b).

3.1.1. Comparación de medias

3.1.1.1. Las comparaciones de medias se introdujeron en la sección “Diseño completamente al azar y ANOVA” del capítulo 3, para después de un ANOVA en el que se rechaza H0, investigar cuáles medias causan las diferencias detectadas. El ANOVA sólo indica que al menos un par de niveles del factor significativo son diferentes entre sí, pero no dice cuáles son. Por facilidad, denotemos los cuatro niveles de la profundidad (A) en el ejemplo 5.2 como Al , A2, A3 y A4, así como los tres niveles de la velocidad (B) como B1, B2 y B3.

3.1.2. Tomando en cuenta la interacción

3.1.2.1. Para hacer comparaciones múltiples de medias de un factor, tomando en cuenta el efecto de interacción, éstas se realizan de manera separada en cada nivel del otro factor. Por ejemplo, las comparaciones que acabamos de hacer para el factor A se realizan dentro de cada nivel del factor B; de esta forma, se toma en cuenta el efecto de interacción, y por ende, se tiene una interpretación más cercana a la realidad del proceso.

3.1.3. Verificación de supuestos

3.1.3.1. Los supuestos de normalidad, varianza constante e independencia de los residuos en un diseño factorial se verifican principalmente con los métodos gráficos presentados en el capítulo 3 para diseños con un solo factor. También se pueden aplicar los métodos analíticos descritos en ese capítulo. Para el ejemplo 5.2, la independencia no la verificamos por no tener el orden en el cual se hicieron las corridas experimentales. En la figura 5.7 se grafican los residuos vs. predichos, y se observa que si se cumple el supuesto de varianza constante, al caer todos los puntos dentro de una banda horizontal. Asimismo, se cumple la normalidad al caer los residuos alineados en la gráfica de probabilidad normal.

4. Diseños factoriales con tres factores

4.1. Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A, B y C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es a, b y c, respectivamente, se puede construir el arreglo factorial a × b × c, que consiste de a × b × c tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial 23, el factorial 33 y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4 × 3 × 2 y el factorial 4 × 4 × 2, por mencionar dos de ellos.

4.1.1. Hipótesis de interés

4.1.1.1. El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permite investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del número de niveles utilizado en cada factor. Por ejemplo, si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero, si tuviera tres niveles su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura

4.1.2. Interpretación de efectos activos.

4.1.2.1. Del F0 de la tabla 5.8 se aprecia que el efecto más importante es el de C seguido por B y la interacción de AB. En la figura 5.9 se muestran las gráficas de efectos de interacción AB y BC; se quiere minimizar el % de sedimentación. En el diagrama de la izquierda de la figura 5.9, el aspecto quebrado de las líneas indica que en el efecto de interacción AB está predominando la parte de curvatura sobre la parte lineal; la mejor combinación es la suspensión intermedia y abertura baja (A = 0, B = –1). En la parte derecha de la figura 5.9 las líneas se ven casi paralelas, lo cual es evidencia visual a favor de la poca importancia de la interacción BC, y la fuerte pendiente de estas líneas tiene que ver con la influencia del factor C : temp. En otras palabras, en la gráfica del efecto BC se observa prácticamente sólo el efecto de C, por ello, no es necesario representar a este último. Para minimizar la mejor combinación para el factor C es su nivel alto. En resumen, el mejor tratamiento es (A = 0, B = –1, C = 1).

5. Transformaciones para estabilizar varianza

5.1. En la práctica, algunas variables de respuesta no siguen una distribución normal sino que se distribuyen, por ejemplo Poisson, binomial o Gamma, por mencionar tres casos. Resulta que en estas distribuciones la media está relacionada con la desviación estándar (variabilidad) y, naturalmente, al cambiar la media de un tratamiento a otro, con ella cambia la variabilidad de la respuesta. También es cierto que al suponer normalidad y varianza constante, éstas no se tienen que cumplir de manera estricta, dado que el procedimiento de ANOVA es robusto o admite desviaciones moderadas de dichos supuestos

6. Diseño factorial general

6.1. Lo que se ha dicho para los dos diseños factoriales con 2 y 3 factores puede extenderse fácilmente para cuando se tienen más factores. Considere f factores A, B, C, …, K con niveles a, b, c, …, k, respectivamente, donde la letra K denota al f-ésimo o último factor del conjunto a estudiar, no necesariamente el undécimo, que es el lugar de esta letra en el alfabeto. Con estos niveles y factores se puede construir el diseño factorial general a × b × … × k, que consiste de a × b × … × k tratamientos o puntos de prueba. Con este diseño se pueden estudiar f efectos principales, f (f – 1)/2 interacciones dobles, f ( f – 1)( f – 2)/(3 × 2) interacciones triples, y así sucesivamente hasta la única interacción de los f factores (ABC … K).

7. Modelos de efectos aleatorios

7.1. Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son modelos de efectos o factores fijos, lo cual significa que todos los niveles de prueba en cada factor son todos los disponibles para ese factor, o bien, se estudian todos los niveles de interés en ese factor; es en este sentido que los niveles están fijos. Éste es el caso, por ejemplo, cuando en el factor operador se toman los tres únicos operadores como los niveles de prueba, o cuando los niveles del factor máquinas son las cuatro máquinas existentes. O bien, cuando se comparan tres tipos de material porque son los que interesa comparar aunque existan otros materiales de ese tipo. Con factores fijos, las conclusiones obtenidas sólo son válidas para los niveles de prueba que se estudian en el experimento.