Geometría: vectores en el espacio

1. ¿Qué es un vector?

1.1. Un vector es un segmento orientado con:

1.1.1. Módulo (tamaño):raíz de sus coordenadas al cuadrado

1.1.2. Dirección (la recta que lo contiene)

1.1.3. Sentido (recorrido del origen al extremo, hay dos sentidos)

2. Propiedades de los vectores

2.1. Dos puntos distintos generan un vector A(a1,a2,a3) B(b1,b2,b3) AB= b1-a1, b2-a2, b3-a3

2.2. Punto medio de A y B es M=(a1+b1/2,a2+b2/2,a3+b3/2)

2.3. Un vector unitario es un vector con módulo 1

2.4. Vector opuesto a v es el vector -v

2.5. Dos vectores equipolentes son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

3. Dependencia e independencia de vectores

3.1. Dos vectores

3.1.1. Son linealmente dependientes si: u1/v1=u2/v2=u3/v3 o el rango de la matriz formada por los dos vectores es igual a 1

3.1.2. Son linealmente independientes si: el rango de la matriz formada por los dos vectores es igual a 2

3.2. Tres vectores

3.2.1. Son linealmente dependientes si: u, v y w son coplanarios o si el rango de la matriz que forman los tres vectores es menor que 3

3.2.2. Son linealmente dependientes si: u, v y w no son coplanarios o si el rango de la matriz que forman los tres vectores es 3

4. Base de vectores

4.1. Tres vectores forman una base en R^3(Espacio en tres dimensiones) cuando son linealmente independientes

4.2. Tres vectores forman una base ortogonal cuando son perpendiculares entre sí

4.3. Tres vectores forman una base ortonormal cuando son perpendiculares entre sí y además tienen módulo 1

5. Producto escalar de vectores

5.1. Si dos vectores son perpendiculares se cumple que su producto escalar es igual a 0, es decir: u·v=0

6. Producto vectorial

6.1. Con el producto vectorial de dos vectores se obtiene un tercer vector perpendicular a estos últimos. u x v= i j k I u1 u2 u3 = w I v1 v2 v3