1. En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada, b 2 – 4 ac , es llamado el discriminante. X = -b ±√b² - 4ac 2 a
1.1. El signo del discriminante puede ser usado para encontrar el número de soluciones de las ecuaciones cuadráticas correspondientes, ax 2 + bx + c = 0 Si el discriminante b 2 – 4 ac es negativo, entonces no hay soluciones reales de la ecuación. Si el discriminante es cero, hay únicamente una solución. Si el discriminante es positivo, entonces el símbolo ± significa que obtiene dos respuestas. Las soluciones de esta ecuación corresponden a las intercepciones en x de la parábola y = ax 2 + bx + c . Así, también puede usar el discriminante para encontrar el número de intercepciones en x de una parábola.
2. De la forma a (x + m)² = n
2.1. 1) Se pasa el término constante a al lado derecho de la ecuación, como divisor de “n”. 2) Se saca raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación. 3) Por último se pasa al lado derecho al constante “m” restando.
2.1.1. a ( x + m )² = n (x + m)² = n A X + m = ±√ n a x = ±√ n - m a
2.1.1.1. 10 (x + 6)² = 5 (x + 6)² = 5 = 0.5 10 X + 6 = ±√ 0.5 = ± 0.71 X = ± 0.71 - 6
3. De la forma (ax + b) (cx + d) = 0
3.1. 1) Se iguala a cero cada uno de los factores para obtener 2 ecuaciones. 2) Se despeja x de cada ecuación para obtener 2 soluciones.
3.1.1. Las soluciones son: x₁ = - b x₂ = - d a c
3.1.1.1. (ax + b) (cx + d) = 0 ax + b = 0 cx + d = 0 ax = -b cx = -d x₁= -b x₂ = -d a c
4. Ecuaciones cuadráticas completas de la forma ax² + bx + c = 0
4.1. 1) Factorización: Primero se expresa la ecuación como el producto de 2 binomios. Después se resuelve la ecuación igualando a cero cada factor, despejando x en cada una de ellas. 2) Completar el trinomio cuadrado perfecto: Consiste en transformar la ecuación en la forma (x + m)² = n y posteriormente encontrar las raíces de la misma. 3) Fórmula general: consiste en sustituir los valores de a, b, c en la fórmula: X = -b ±√b² - 4ac 2 a
4.1.1. Factorización: x² - 10x + 16 = 0 (x – 8)(x – 2) = 0 x₁ = -10 y x₂ = 8
4.1.2. Formula general: 5x² + 8x -7 = 0 a = 5, b = 8, c = -7 x = - (8) ±√ (8)² - 4 (5)(-7) 2 (5) X = -(8) ±√ 204 2 (5) X= -(8) ±√ 14.28 2 (5) x₁ = 0.63 y x₂ = -2.23
5. El discriminante
6. De la forma ax² + c = 0
6.1. 1) Se pasa el termino constante "c" al lado derecho cambiandole el signo. 2) Se divide la ecuación entre "a" es decir, se pasa como divisor del lado derecho. 3)Se saca raíz cuadrada.
6.1.1. ax² + c = 0 ax² = -c x² = - c/a x = ± √- c/a
6.1.1.1. 3x² - 48 = 0 3x ² - 48 +48 = 0 + 48 3x² = 48 3 3 x² = 16 x= ±√16
7. De la forma ax² + c = d
7.1. 1) Se pasa el termino constante “c” restando al lado derecho. 2) Se pasa “a” como divisor al lado derecho. 3) Se pasa la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.
7.1.1. ax² + c = d ax² = d – c x² = d – c a x = ±√ d – c a
7.1.1.1. 10x² + 1 = 7 10x² = 7 – 1 10x² = 6 x² = 6 10 x²= 0.6 x = ±√ 0.6
8. De la forma ax²+bx=0
8.1. 1) Se factoriza “x” en el lado izquierdo de la igualdad. 2) Se iguala cada factor a cero para obtener dos ecuaciones. 3) Se despeja “x” de cada ecuación y se obtienen 2 soluciones.
8.1.1. ax² + bx = 0 x (ax + b) = 0 x= 0 (1) ax + b = 0 (2) x₁ = 0 x₂ = -b a
8.1.1.1. 4x² - 9x = 0 X (4x – 9) = 0 X= 0 4x – 9 = 0 X = +9 4 X= 2.25