1. Conjunto formado por vectores infinitos definidos sobre un campo k
1.1. Debe cumplir 10 axiomas
1.1.1. 1. Cerradura para la suma
1.1.2. 2. Propiedad conmutativa de la suma
1.1.3. 3. Propiedad asociativa de la suma
1.1.4. 4. Existencia del vector neutro
1.1.5. 5. Existencia de inversos aditivos
1.1.6. 6. Cerradura para la multiplicación
1.1.7. 7. Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de vectores
1.1.8. 8. Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de escalares
1.1.9. 9. Propiedad asociativa de la multiplicación
1.1.10. 10. Existencia de unidad
1.2. Subconjuntos
1.2.1. Dado un espacio vectorial existe un subconjunto de este si cumple:
1.2.1.1. Sea un espacio vectorial V, y A un subconjunto de V
1.2.1.1.1. Si A es linealmente dependiente es un conjunto generador de V
1.2.1.1.2. Si A es linealmente independiente es una base de V
1.2.2. Cerradura para la suma
1.3. Construcción de espacios vectoriales
1.3.1. Vector en dos dimensiones
1.3.2. Vector en tres dimensiones
1.3.3. Matriz cuadrada (2x2)
1.3.4. Polinomio de grado menor o igual a 2
1.3.5. Función en cualquier forma
1.4. Producto interno
1.4.1. También es conocido como producto punto
1.4.2. Definido sobre un espacio vectorial es una aplicación entre el conjunto de todos los pares de vectores y los números reales, el resultado es un número real.
1.4.2.1. PROPIEDADES
1.4.2.1.1. Axioma de aditividad
1.4.2.1.2. Axioma de simetría
1.4.2.1.3. Axioma de positividad
1.4.2.1.4. Axioma de homogeneidad
1.5. Método de Gram Schmidt
1.5.1. Es un proceso de ortogonalización para construir a partir de una base un conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial
1.5.1.1. El espacio ya sea real o complejo debe tener producto interno
1.6. Transformaciones lineales
1.6.1. Una transformación lineal es una función T con dominio y codominio; sean dos espacios vectoriales V y W existe una función T que transforma los vectores de V a vectores de W.
1.6.1.1. Una transformación T:U→V donde U y V son espacios vectoriales, es lineal, si y solo si, satisface las siguientes propiedades
1.6.1.2. 1) Superposición: La transformación de una suma es igual a la suma de las transformaciones
1.6.1.3. 2)Homogeneidad: La transformación de un vector multiplicado por un escalar es igual al producto del escalar por la transformación del vector.
1.7. Aplicaciones de espacios vectoriales
1.7.1. Física
1.7.1.1. Los campos eléctricos y electromagnéticos son campos vectoriales
1.7.2. Mecánica estructural
1.7.2.1. Las tensiones en el material se modelan como espacios vectoriales