ESPACIOS VECTORIALES

1. DEFINICION

1.1. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales. a los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

2. Propiedades de un espacio vectorial.

2.1. Propiedades de suma de vectores

2.1.1. *Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w) *Conmutativa: v+u=u+v. *Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0+ v = v para cualquier vector v. *Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .

2.2. Propiedades de la multiplicación por un escalar. sean u y v vectores en v, cy d constantes.

2.2.1. • Asociativa: β (α v) = ( β α ) v

2.2.2. Distributivas: *Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v *Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v

2.2.3. Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.

3. Ejemplos

3.1. 1) El espacio , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. n ℜ Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0). No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ).

3.2. 2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales: P2 ={ ax2 + bx + c : a, b, c ∈ ℜ } Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo: Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 • + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2. Producto por un escalar real: λ∈ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 • + λbx + λc que pertenece a P2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0 0 No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3.3. 3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios p = x3 +x2 +x+1 , q = –x3 +x2 +x+1 Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2 +2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

3.4. Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos. Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC. También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC. (Compruébese con elementos genéricos).