ECUACIONES DIFERENCIALES
por Saul Almendariz
1. Problema De Valor Inicial
1.1. En matemática, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor inicial (también llamado por algunos autores como el problema de Cauchy) es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor especificado, llamado la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. En física o en otras ciencias, es muy común que el modelado de un sistema utilice el problema de valor inicial para la resolución; en este contexto, la ecuación diferencial es una ecuación que evoluciona especificando cómo el sistema evoluciona con el tiempo, dadas las condiciones iniciales.
2. Ecuaciones Diferenciales De Variables Separables
2.1. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden $f(x,y,y^{\prime})=0$ que puede escribirse en la forma: f(x) dx + g(y) dy =0 se llama ecuación diferencial en variables separadas.
2.1.1. El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.
3. Ecuaciones Diferenciales Exactas, Factor Integrante
3.1. Factor integrante Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferemcial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones
4. Orden De Una Ecuación Diferencial
4.1. Se trata de una relación entre una variable x, la función buscada y(x) así como cualesquiera de sus derivadas, y‘(x), y”(x), ..., yn)(x) . Simbólicamente lo expresaremos: F(x, y(x), y’(x), y”(x), ..., yn)(x))=0 El orden de la derivada máxima que interviene en la ecuación se define como orden de la ecuación. Se llama grado de la ecuación diferencial al máximo exponente al que se encuentra elevada la máxima derivada, aunque en numerosas ocasiones sea 1, como en los dos ejemplos de arriba, éste puede ser cualquier número entero. Por ejemplo:
5. Solución Singular
5.1. Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.
6. Ecuación Diferencial Ordinaria
6.1. En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.
7. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
7.1. Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
8. Teorema De Existencia Y Unicidad Para Un Problema De Valores Iniciales
8.1. Existencia y unicidad Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: Existencia: ¿Existirá una solución al problema ? Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ? Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?
9. Ecuación Diferencial
9.1. Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.
9.1.1. Las ecuaciones diferenciales aparecieron por primera vez en los trabajos de cálculo de Newton y Leibniz. En 1671, el Capítulo 2 de su trabajo Método de las fluxiones y series infinitas.