1. Definición de Matriz e Igualdad de Matrices
1.1. Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.
1.2. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
1.2.1. Ejemplo:Las matrices A y B son iguales.
1.2.1.1. Operaciones Con Matrices
1.2.1.1.1. Suma de Matrices dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.
1.2.1.1.2. Resta de matrices Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como la resta de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.
1.2.1.1.3. Multiplicación por Escalar el producto escalar de un número real, r , y una matriz A es la matriz rA. Cada elemento de la matriz rA es r veces su elemento correspondiente en A .
2. Matricea
2.1. Prpiedades elementales de las operaciones con matricez
2.1.1. Asociativa Dadas las matrices m×n A, B y C (A + B) + C = A + (B + C)
2.1.2. Conmutativa Dadas las matrices m×n A y B A + B = B + Ad
2.1.3. -Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A
2.2. Clasificacion de matrices
2.2.1. Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
2.2.2. Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
2.2.3. Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
2.2.4. Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
2.3. Definición de traza de una matriz y sus propiedades.
2.3.1. Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y se denota por tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es decir
2.3.2. Demostrar las siguientes propiedades acerca de esta función. a) La función traza es un forma lineal sobre el espacio vectorial de matrices cuadradas de dimensión n x n. b) Para cualquier par de matrices cuadradas A, B se tiene tr(AB)=tr(BA). (más en general, si A es de dimensón m x n y B tiene dimensión n x m ) c) La traza de la matriz identidad es tr ( I ) = n. d) Si A y B son matrices semejantes, es decir, si existe P no singular tal que B = P. -1 A P. Entonces tr ( A ) = tr ( P -1 A P ) = tr ( B ) Por último, demostrar que si τ es una forma lineal definida sobre el espacio vectorial de matrices cuadradas n x n que cumple las propiedades a), b) y c) demostrar que entonces τ = tr. Esto es, demostrar la unicidad de la función traza dadas tres características básicas.
2.4. Matriz Identidad
2.4.1. La matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto.
2.5. Definición y propiedades de la inversa de una matriz.
2.5.1. Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz que cumple que: A·A-1 = I = A-1· APROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA 1. La matriz inversa si existe es única. 2. (A-1)-1 = A, es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial. 3. (A·B)-1 = B-1·A-1 4. |A-1| = 1 / |A|
2.5.2. Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). .
2.6. Cálculo de la inversa por transformaciones elementales.|
2.6.1. Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A. En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas. Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1. Todo número real, salvo el 0, tiene inverso. Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales: No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices. No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números). Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).Todo número real, salvo el 0, tiene inverso. Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:<o:p></o:p>No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.<o:p></o:p>No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).<o:p></o:p> Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In <o:p></o:p> Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.<o:p></o:p> Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).
2.6.1.1. Ejemplo
2.7. Transposición de una matriz y sus propiedades.
2.7.1. La matriz transpuesta (o traspuesta) de la matiz A se denota por AT y es la matriz que tiene por filas a las columnas de A. Si la matriz A es de dimensión mxn, entonces la dimensión de AT es nxm. Ejemplo: suma de una matriz y de la matriz producto de un escalar por la transpuesta de una matriz:
2.8. Una matriz simétrica es una matriz cuadrada cuyos elementos son simétricos respecto de la diagonal principal, es decir, una matriz A es simétrica cuando A = At o, lo que es lo mismo, aij = aji . Por tanto, una matriz es simétrica si coincide su traspuesta.
2.9. Una matriz antsimétrica es una matriz cuadrada cuyos elementos respecto de la diagonal principal son iguales en valor absoluto pero de distinto signo, es decir, una matriz A es antisimétrica cuando A = - At o, lo que es lo mismo, aij = - aji . Por tanto, una matriz es antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta.
2.10. Una matriz cuadrada A es una matriz ortogonal si verifica que A · At = At · A = I Es un tipo especial de matriz inversible.f
2.11. Conjugación de una matriz y sus propiedades.
2.11.1. La matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz A es una matriz A+ (también denotada como A^*, o como AH) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.
2.12. Ecuaciones matriciales y su resolución.
2.12.1. Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita X es una matriz. Por ejemplo,Existen varias formas de resolver una ecuación matricial, pero la más habitual es utilizar las matrices inversas de las matrices implicadas. Por ejemplo, en la ecuación anterior, tenemos las matrices
2.12.1.1. Así que podemos escribir la ecuación como
2.12.1.2. Si la matriz A es regular (tiene inversa), multiplicando por la izquierda en la ecuación por su inversa, tenemosPor tanto, para resolver la ecuación sólo tenemos que calcular la inversa de A y multiplicar las matrices A − 1 y B .
2.13. Definición de determinante y sus propiedades.
2.13.1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales: Ejemplo: Calculamos el determinante de A y de su traspuesta mediante la regla de Sarrus.
2.13.2. La idea de determinante es una concreción de la idea de matriz, es decir, no tiene sentido si no es a través de una matriz cuadrada. Se trata de asignarle a cada matriz un valor de R que, de alguna forma, la representa.
2.13.3. Determinante de una matriz triangular.
2.13.3.1. Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos sus elementos debajo de la diagonal principal son cero. Es una matriz triangular inferior si todos sus elementos arriba de la diagonal principal son cero. Una matriz se llama matriz diagonal si todos los elementos que no están sobre la diagonal principal son cero. Una matriz diagonal es tanto triangular superior como inferior.
2.13.3.1.1. d
2.13.4. Cálculo de determinantes: desarrollo por cofactores y método de condensación.
2.13.4.1. Se llama menor del elemento aik de un determinante D de al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.
2.13.4.2. Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es
2.14. Matriz Adjunta.
2.14.1. Una matriz adjunta es una transformación lineal de la matriz original a través del determinante de los menores y su signo y se utiliza principalmente para obtener la matriz inversa.
2.14.2. Cálculo de la matriz inversa por medio de la adjunta.
2.14.2.1. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga inversa (A-1) es que su determinante sea distinto de cero. En este caso, para calcularla, se divide la traspuesta de su adjunta entre el determinante de la matriz dada, es decir:a siguiente escena realiza el cálculo de la matriz inversa de una dada, calculando el valor de su determinante, la matriz adjunta y, por último, aplicando la fórmula anterior.