4. Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar. se representa por ℕ y está formado por: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
5. Propiedades de la suma 1.Interna: a + b 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) 3. Conmutativa: a + b = b + a 4. Elemento neutro: a + 0 = a
6. Propiedades de la resta 1. No es una operación interna: 2 − 5 2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5
7. Propiedades de la multiplicación 1. Interna: a · b 2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) 3. Conmutativa: a · b = b · a 4. Elemento neutro: a · 1 = a 5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c 6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
8. Propiedades de la división 1.División exacta: D = d · c 2. División entera : D = d · c + r 3. No es una operación interna: 2 : 6 4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6 5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0 6. No se puede dividir por 0.
9. Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Q
9.1. Propiedades de las raíces 1. Raíz exacta: Radicando= (Raíz)² 2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)² + Resto Prioridades en las operaciones 1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.. 2º Calcular las potencias y raíces. 3º Efectuar los productos y cocientes. 4º Realizar las sumas y restas.
10. Propiedades de las potencias 1. a0 = 1 2. a1 = a 3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n 4. Cociente de potencias con la misma base: am : an = am - n 5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n 6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b)n 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n
11. Los números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es (pi), que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. = 3,141592653589…. Otros números irracionales son: El número Ҽ aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. Ҽ = 2,718281828459... El número áureo, Ф, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras. Ф = (1+5)/2 = 1,618033988749…
12. Potencia de fracciones [a/b)n = an/bn (a/b)-n = (b/a)n (a/b)-1 = b/a Propiedades 1. (a/b)0 = 1 2. (a/b)1 = a/b Producto de potencias con la misma base: (a/b)m . (a/b)n = (a/b)m+n División de potencias con la misma base: (a/b)m / (a/b)n = (a/b)m-n 5. Potencia de una potencia: [(a/n)m]n = (a/b)m.n 6. Producto de potencias con el mismo exponente: (a/b)n . (c/d)n = (a.c/b.d)n 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: (a/b)n / (c/d)n = (a.d/b.c)n
13. Operaciones combinadas 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 5º. Realizar las sumas y restas.
14. Los números reales El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R. Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero. Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
15. Racionales - Q
16. Suma de números enteros 1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común. 2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. Propiedades 1. Interna: a + b 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) · 3. Conmutativa: a + b = b + a 4. Elemento neutro: a + 0 = a 5. Elemento opuesto: a + (-a) = 0
17. Diferencia de números enteros La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b) Propiedades 1. Interna: a − b 2. No es Conmutativa:
18. Mutiplicación de números enteros El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos + por + = + - por - = + + por - = - - por + = - Propiedades 1. Interna: a • b 2. Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c) 3. Conmutativa: a • b = b • a 4. Elemento neutro: a •1 = a 5. Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c 6. Factor común: a • b + a • c = a • (b + c) (proceso inverso a la propiedad distributiva)
19. Cociente de números enteros El cociente de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Propiedades 1. No es una operación interna 2. No es Conmutativo:
20. Enteros - E
21. Potencias con exponente natural La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: (+)par = + (+)impar = + (-)par = + (-)impar = - Propiedades 1. a0 = 1 • 2. a1 = a 3. Producto de potencias con la misma base: am • a n = am+n 4. División de potencias con la misma base: am : a n = am - n 5. Potencia de una potencia: (am)n=am • n 6. Producto de potencias con el mismo exponente: an • b n = (a • b) n 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : b n = (a : b) n Potencias de exponente entero negativo: a-n = 1/an si a ≠ 0
22. Suma de números enteros 1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común. 2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. Propiedades 1. Interna: a + b 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) · 3. Conmutativa: a + b = b + a 4. Elemento neutro: a + 0 = a 5. Elemento opuesto: a + (-a) = 0
23. La operación de raíz cuadrada La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado. a = b b2 = a Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto. Raíz cuadrada entera La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto. Resto = Radicando - Raíz2
24. Operaciones combinadas Prioridades 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas.
25. Producto de números racionales El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores. Propiedades 1. Interna: a • b Q 2. Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c) 3. Conmutativa: a • b = b • a 4. Elemento neutro: a •1 = a 5. Elemento inverso: ab−ab=0 6. Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c 7. Sacar factor común: a • b + a • c = a • (b + c)
26. Cociente de números racionales El cociente de números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.
27. Suma y diferencia de números racionales Con el mismo denominador: Se suman los numeradores y se mantiene el denominador. Con distinto denominador: En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Propiedades 1. Interna: El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional. 2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) · 3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a 4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a 5. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a + (-a) = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a − b = a + (−b)
