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Espacio Vectorial por Mind Map: Espacio Vectorial

1. Construcción de Vectores

1.1. conjunto no vacío V de objetos

1.2. Operaciones definidas: Adición y Producto.

1.3. Sujetas a 10 axiomas o reglas

1.3.1. Axiomas para adición

1.3.1.1. La suma de u y v, denotada con u+v, esta enV.

1.3.1.2. u + v = v + u

1.3.1.3. (u + v) + w = u + (v + w)

1.3.1.4. Para cada u en V, existe un vector -u en V tal que u + (-U) = 0

1.3.1.5. Hay un vector (0) en V tal que u + 0 = u

1.3.2. Axiomas para multiplicación

1.3.2.1. El multiplo escalar u por c, que se denota con cu, está en V

1.3.2.2. c(u + v) = cu + cv

1.3.2.3. (c + d)u = cu + du

1.3.2.4. c(du) = (cd)u

1.3.2.5. 1u = u

2. Base

2.1. Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

2.1.1. S genera a V.

2.1.2. S es linealmente independiente

2.1.3. Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como: 1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn 2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

3. Orto-Normales & método Gram Schmidt

3.1. Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.

3.1.1. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. 1. Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno 2. Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por: w1= v1 Entonces B´ es una base ortogonal de V. 3. Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.

3.1.2. El Método de Gram-Schmidt, consiste en ir modificando los vectores dados convenientemente para que cada uno sea ortogonal con los anteriores. Si llamamos {u1, u2, ... , un} a la base de partida.

4. Producto interno

4.1. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

4.2. Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

4.2.1. 1. (v, v) ≥ 0 2. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0 3. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) 4. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) 5. (u, v) = (v, u) 6. (αu, v) = α(u, v) 7. (u, αv) = α(u, v)

5. Transformaciones lineales

5.1. Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.

5.1.1. Propiedad 1: La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del codominio 0w: T(0V)=0w

5.1.2. Propiedad 2: La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v: T(–v)=–T(v)

5.1.3. Propiedad 3: Consideremos r vectores del espacio vectorial V: v1,v2, …, vr ∈ V Tomemos una combinación lineal en el dominio: α1v1+α2v2+α3v3+ ... +αrvr Donde αi ∈ R. Si aplicamos la transformación lineal F de V a W , teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta: F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αr(vr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)

6. Aplicaciones

6.1. Ingeniería en estudios de modelización por medio de la teoria de modelos finitos.

6.2. Física: en el estudio de campos eléctricos y electromagnéticos.

7. Subespacios

7.1. Es un subconjunto H de V que tiene 3 propiedades

7.1.1. a) el vector cero de V está en H cuadrada.

7.1.2. b) H es cerrado bajo la suma de vectores. Por cada u y v en H, la suma u + v está en H.

7.1.3. c) H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.