Espacio Vectorial

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Espacio Vectorial por Mind Map: Espacio Vectorial

1. Conjunto no vacío de objetos en donde se han definido dos operaciones.

1.1. La Suma

1.2. El Producto

2. Notación

2.1. Elementos

2.1.1. Vectores

2.1.1.1. Elementos de v: u, v, w...

2.1.2. Escalares

2.1.2.1. Elementos de K: a, b, c...

3. Dependencia e independencia lineal

3.1. Dependientes

3.1.1. Un conjunto de vectores será linealmente dependiente si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto.

3.1.1.1. Otra definición equivalente será que el vector cero se podrá expresar como combinación lineal de este conjunto de vectores en el que al menos algún coeficiente será distinto de cero.

3.2. Independientes

3.2.1. Un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores.

3.2.1.1. Otra forma de definir será si el vector cero sólo se puede expresar como combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes que multiplican a cada vector son nulos.

4. Base de un espacio vectorial

4.1. Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. Una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.

5. Bases Ortonormales

5.1. Base Ortogonal

5.1.1. Cuando los vectores de una base son mutuamente perpendiculares.

5.2. Base Ortonormal

5.2.1. Cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios

6. Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt

6.1. Es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

7. Con Producto Interno

7.1. Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

8. Transformaciones lineales

8.1. Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales.

8.1.1. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W

8.2. Propiedades de transformación lineal

8.2.1. La imagen del vector nulo del dominio 0 V es el vector nulo del codominio 0w.

8.2.2. La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v

8.2.3. Una transformación lineal "transporta" combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.

9. Clasificación de aplicaciones

9.1. Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.

9.2. Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del conjunto final B han sido utilizados.

9.3. Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.

9.4. Si f es biyectiva existe su inversa, denotada f –1: A →B , que “deshace” lo hecho por f.