Definiciones y terminología de las ecuaciones diferenciales

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1. Clasificación

1.1. Tipo

1.1.1. Si una ecuación solo contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una dolo variable independiente, entonces es una ecuación diferencial ordinaria.

1.1.1.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias

1.1.1.1.1. Estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente.

1.1.1.2. Ecuaciones en derivadas parciales

1.1.1.2.1. Presentan dos o mas variables dependientes. Contiene una función multivariable y sus derivadas, se utilizan para problemas que involucran funciones de varias variables.

1.2. Orden

1.2.1. Es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.

1.3. Linealidad

1.3.1. Es cuando sus soluciones pueden obtenerse de combinaciones lineales de otras soluciones. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas solo interviene la variables independiente.

2. Solución de una ecuación diferencial

2.1. Es una función que junto con sus derivadas satisfacen la ecuación diferencial.

2.2. Es decir, una solución, es una función g(x) definida en algún intervalo I que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo x in I.

3. Solución explicita e implícita

3.1. Explicita

3.1.1. Una solución en la que la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes

3.2. Implicita

3.2.1. Es aquella donde no se expresa de manera directa la relaciona entre la variable dependiente e independiente.

4. Familia de soluciones

4.1. Solución particular

4.1.1. Se fija cualquier punto P(Xo, Yo) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación.

4.1.1.1. Solución original

4.1.1.1.1. y = e^x corresponde a c = 1

4.1.1.2. Solución trivial

4.1.1.2.1. y = 0 que corresponde a c = 0

4.2. Familia monoparamétrica

4.2.1. Es aquella que tiene una constante arbitraria que representa un conjunto G(x,y,c) = 0 de soluciones.

4.3. n-paramétrica

4.3.1. Una sola ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o los parámetros.

5. Ecuaciones diferenciales

5.1. Es una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes